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» Remarque I. — Pour que t ne figure pas clans l'intégrale en dehors de 

 l'exponentielle, il sera nécessaire et suffisant que chaque série ne contienne 

 qu'une variable, d'où la condition /jl = v. Donc les relalions (4) doivent se 

 réduire à « — /ji distinctes, ce qui exige que, non- seulement A, mais tous ses 

 mineurs d'ordre v — i s'annulent pour s = u. 



» Remarque II. — Les nouvelles variables J,,..., iv, sont des fonctions 

 linéaires de .r,,..., x„ contenant l'irrationnelle c, et pourront se melire 

 sous la forme 



Yo,..., W,„_, étant des fonctions linéaires de .r,,..., x„ à coefficients ra- 

 tionnels, et m étant le degré de l'équation irréductible 



F{s) = s'" -+- Ai'"-' -t- . . . + R.9 + L = o, 



dont (7 est racine. 



» Cela posé, on pourra, en tenant compte de l'équation F(7) = o, 

 mettre les équations (6) sous la forme 



clt lit dt 



= - LY,„_,+ 7(Y„-KY„_,) + . . . + ^"'-\Y,„_,-AY,„_,), 



(7) 



'I^^^'I^^ ^.rn-.,'l^: 



de de ' ' dt 



= -LW,„_,+Vo+ a(Wo-RW,„_,+V,) + ... 

 + ^'"-'(W,„_.-AW,„_, + V,„_,). 



» Soient maintenant c' une autre racine quelconque de l'équation 

 F(i) = o, j\ ,. .., \v\ les fonctions obtenues en changeant a en g' dans 

 l'expression de j,, . . . , x^'^ ; il est aisé de voir que ces fonctions satisferont 

 aux relalions 



dy\ I • dz , , d(v' , , 



W = ^J'^^ 1^ = ^2«+J,. ■■•> ^=^'"', + "., 



lesquelles pourront être mises sous une forme analogue à (7), sauf le chan- 

 gement de (7 en a'. 



» Les équations (7) seront donc satisfaites, quelle que soit celle des 

 racines de F (5) = o que l'on substitue à a; on en déduit sans peine qu'on 



