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GÉOMÉTRIE. — Détermination des rayons de courbure en un point quelconque 

 d'une surface définie par son équation tnngentielle. Note de M. Painvin, 

 présentée par M. Bertrand. 



« 1. Je snppose une surface définie par son équation tangentielle 



(i) /(m, t', w) = o, ou /{u,v,xv,r) = o, 



en rendant homogène le premier membre de cette équation; u, i>, tv sont 

 les coordonnées d'un plan tangent quelconque. 

 » Posons 



/h = 



du- 





du di< 

 d\f 



r _ Jrf_ 



Ji3 



dvdiv 







du dr 



dvdr ' 



d-f 

 divdr 



Jl — — ' 



du 





dv 



f -El. 



J" — dr ' 



pu 



IS 



(2) H: 



./it y 12 ./i,i ./i4 



./2I J2t Jti J-2i 



/3I 732 /33 Jz\ 



Ji\ Jil Ji^ Jii 



Hr, =: 



dn 



G = 



fn /12 fn /il l'OSa 



f-A Jn fn fu COSp 



/ai Âi fii fn COS7 



fu fi-. fu fn O 



COSa COSp COS7 O O 



M Si l'on considère un plan tangent déterminé [u, v, n'j et une tangente 

 située dans ce plan tangent et faisant avec les axes de coordonnées (sup- 

 posés rectangulaires) les angles a, |3, 7, le rayon de courbure R de la sec- 

 tion normale, passant par cette tangente, sera donné par la formule 



\Ju' -+-v'-i-<v' H 



A G' 



:3) 



R 



les angles a, fi, '^ doivent toujours vérifier les deux relations 



t' cosp 4- H' cosy = o, 



(3 bii) 



1 «cosa 



( cos-« + cos-jj + cos'-y := I. 



« Si maintenant on pose 



(4) 



f = 



H \/u' 



Rf 



