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 satisfaire à la relation 



ix^ — 3fj. — p[p — i) — p'ip' — i) —...+• 2 = o. 

 » I.e nombre des points doubles de la courbe est 



(,;;_l)(ffl_2) r(r-i) r'{r' — i) _ 



■2 2 2 • • • } 



puisqu'il fait avec les points multiples d'ordre r, r',... l'équivalent du 



maximum possible de points doubles moins v. 



» Démonsiralion. — Premièrement, les courbes d'ordre m — u. forment 



lui faisceau, c'est-à-dire qu'elles satisfont à la condition de passer par 



[m — y-){m — « + 3) . t? rr .^ i i-,.- i' • 



^— ^-^ ■ — r pouits communs. Ln etiet, la condition d avon- un 



point mtdtiple d'ordre (r — p) équivaut à celle de passer par ^^ — 



points; donc les courbes satisfont aux conditions de passer par des points 

 en nombre 



(r — p)r— p + i) _^ (»i — l)(w — 2) __ ^^211' _ _ V 



2 ' ' ' a 2 



3[m — i) — mp. ■+- r(p — i) + r'{p' — i) +. . .+ v 



(ni — y.) [m ■ — fi + 3 



2 



ou, en vertu de l'équation de condition, 



(m — II-) {m — p. -H 3 



— I. C. Q. F. P. 



» Secondement, les points communs aux courbes d'ordre m — u. et à C,„ 

 sont en nombre in(m — p.) — (v-l-i). En effet, la coïncidence du point 

 multiple d'ordre /■ — p avec le point multiple d'ordre r de C,„ équivaut à 

 à r{r — p) points communs, de sorte que les deux courbes ont en commun 



r{r — p) +. . .+ [ni — i)(m — a) — r(;- — i) — . . .— 2v 

 + 3(7?7. — i) — miJ. ■+- r[p — i) +. . .+ V 

 points, qui se réduisent à 

 m- — mu. — V -!- ^(jj.^ — 3 ij. — p {p — \) — . . .) — m[m — p.) — (v + i). 



» Le théorème est donc démontré. 



C. Q. F. p. 



» II. Dans cet énoncé général, les quantités indéterminées |u,, /5, /i',... f|ui 

 se présentent avec le signe — dans les binômes ni — ju., '' — p, etc., j)euvent 



