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prendre foutes, ou quelqnos-nnes, ries valpurs négatives, toujours on nom- 

 bres entiers bien entendu. C'est pour plus de clarté dans la démonstration 

 que nous ne leur avons pas donné le double signe ±. Le signe de chacune 

 changera aussi dans l'expression du noa)bre des points simples pris sur C,„, 

 comme dans l'équalion de condition. 



» On conçoit que les solutions de l'équation de condition pourront ne 

 pas satisfaire tontes à la question, telles que celles, par exemple, pour 

 lesquelles l'ordre [r ± p) d'un point multiple serait négatif, ou bien serait 

 égal ou supérieur au degré [m ± p.) des courbes que l'on veut construire, 

 et aussi les solutions dans lesquelles on aurait fx = o, parce qu'alors les 

 courbes du faisceau se trouvant de même ordre que la courbe proposée, 

 passeraient toutes par le même groupe de (v -+■ i) points, puisque celte 

 courbe elle-même ferait partie du faisceau. 



» Lorsque la courbe proposée est pure de tous points multiples d'ordre 



, , , , (m — 1)('« — 2I , . ^ , ■ 



quelconque, v est égal a ^ > valeur maximum. On delermuie 



alors sur la courbe des groupes de '-^ + i pouits. 



» Voici quelques applications du théorème. 



)) IIL Soil p' = o, p" = o,... ; l'équalion de condition est 



p.^ — 3/j. — ,0 (p — i) 4- 2 = o. 

 M Prenant p, pour l'inconnue, on a 



p. = |±-^^/l+/,p(p_ ') = ! ±i(2p-l). 



p. = I -4- p et fj. ^ 2 — p. 



» Ce qui donne lieu à ce double théorème : 



» On détermine sur une courbe d 'ordre m, douée de points multiples d'ordre r, 

 r',.,., et de jtoints doubles jaisant ensemble l'équivalent du maximum possible de 

 points doubles moins v, des groupes de (v + 1) points, nu moyen d'un faiscenii 

 de courbes de l'ordre [m — p — i) ou (m -+- /5 — 2) ayant sur C„, : \° des 

 points multiples d'ordre r — p, r', r", ... coïncidant respectivement avec les 

 points d'ordre r, r', r",... ; 2° des points simples coïncidant avec les points dou- 

 bles; et ?)° d'autres points simples en nombre 



,„(.,. _ p)_ 3 + r{p - 1) — î-'--...+ V 

 dans le premier cas, et 



m (i -+■ p) — 3 + rfû — i) — 1-' — ...H- V 

 dans le deuxième cas. 



