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 M Dans le premier cas, où l'ordre des courbes du faisceau est 7?2 — i — p, 

 on devra prendre p <^ m — i, et = ou <; /■. Dans le deuxième cas, o n'est 

 assujetti qu'à la condition d'être = ou <[ r. 



n IV. Prenant p pour l'inconnue, dans l'équation de condition, on a 

 p = [j. — i et p = — 'J- -+- 2. 

 Il en résulte ce double théorème : 



» Sur une courbe C,„ douée de points multiples d'ordre r, r',.-- e< de points 



J II I {m — ) (m — 2) r{r—i) ,■'(/_,) 



doubles en nombre ' — ^ — i —.,.— v, on deter- 



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mine des groupes de (v + i) points, au moyen d'' un faisceau de courbes d'ordre 

 m — [J. ayant sur C„ : 1° un point multiple d'ordre (r — iJ.~{-i) ou (r + fx — 2) 

 coincidant avec le point d'ordre r, et des points multiples d'ordre r', r",... coïn- 

 cidant respectivement avec ceux du même ordre; 2" des points simples coincidant 

 avec les points doubles; et 3" d'autres points simples en nombre 



3(m — 1) — mp, + r (/Ji — 2) — r' — r" — ...+ v 

 dans le premier cas, et en nombre 



3 ( m — I ) — m jL/, — r ( p. — i ) — r' — r" — ...-+- j 



dans le deuxième cas. 



» V. Soient p = i, p' = i,..., l'équation de condilion se réduit à 



p.- — 3p. + 2 = 0, 

 donnant 



p. = I et p =3 2. 

 » Donc : 



» On peut déterminer sur une courbe C„, ayant des points multiples d'ordre 

 r, i'',-.-, et des points doubles faisant, avec ces points multiples, l'équivalent 



de -^ ' — V points doubles, des groupes de [v -\- i) points, au moyen 



d'un faisceau de courbes d'ordre (m — 1) ou (m — 2) ayant sur C„ : 1° des 

 points multiples d'ordre r — i, r'^ — !,•••) coïncidant avec les points d'ordre r, 

 r', ... ; 2" des points simples coïncidant avec les points doubles, et 3° d'autres 

 points simples en nombres respectifs 2m — 3 + v, o/( m — 3 + v. 



» VI. Si l'on fait p = o, p' = o,..., l'équation de condition se réduit 



encore à 



p.- — 3 p. + 2 = o ; 



et l'on a cet énoncé : 



