(93i ) 

 » Lorsqu'une courbe C,„ a des points multiples d'ordre r, r',... et des points 



doubles faisant ensemble l'équivalent de v points doubles, on 



détermine sur cette courbe des groupes de [v -h i) points^ au moyen d'un fais- 

 ceau de. courbes d'ordre (m — i) ou (m — 2), (/(/( ont sur C,„ : 1° des points 

 multiples d'ordre r, r',... coincidant respectivement avec ceux de C,„ ; 2° des 

 points simples coïncidant avec les points doubles; et 3° d'autres points simples 

 en nombre 2 m — 3 + v — r — 1' — ... dans le premier cas, et en nombre 

 ni — 3 H- V — r — r' — ... dans le deuxième cas. 



» VI. Nous avons distingué, dans l'énoncé du théorème général , trois 

 sortes de points sur la courbe proposée C,„ : des points d'ordre /■, /■', . . ., 

 des points doubles, et les points simples ; et nous avons fait coïncider, avec 

 les |)oints d'ordre r, /',.••) ^^s points multiples d'ordre r — p, r' — p',... 

 des courbes à construire; avec les points doubles, des points simples, et 

 avec des points simples, d'autres points simples. Mais on conçoit que des 

 points doubles, et même des points simples de C,„, peuvent être considérés 

 comme des points multiples d'ordre a et d'ordre i ; et qu'on peu! donc 

 faire coïncider avec ces points des points d'ordre a — p' el i — p", p' et p" 

 pouvant être négatifs et donner lieu à des points multiples d'ordre p' -+- 2, 

 etp" + i. 



» Dès lors le théorème général prend un accroissement de généralité qui 

 comportera de nombreuses solutions nouvelles de la question. Prenons 

 pour exemple le cas fort simple où les courbes du faisceau n'ont qu'un 

 point multiple de chaque ordre; on a cet énoncé : 



» Sur une courbe C,„, douée d'un point multple d'ordre r, el de points 



j II 7 (m — i)(m — 2) r(r — i) , . . 



doubles en nombre • v, on détermine des groupes 



de (v 4- i) points, au moyen d'un faisceau de courbes d'ordre (m — p.) ayant 

 sur C,„ : i" un point multiple d'ordre r — p coincidant avec le point multiple 

 d'ordre r ; 2° un point multiple d'ordre (2 — p') coïncidant avec un point double; 

 3° un point multiple d'ordre (i — p") coïncidant avec un point simple; 4" lIss 

 points simples coïncidant avec tes points doubles moins un, et d'autres points 

 simples en nombre 3m — m a + v — 6 + r (p — 1)4- ip' -i- p"; les indéter- 

 minées p., p, p', p" devant satisfaire à la relation 



p."" - 3p. - p{p-i)- p'{p' - i) - p"{p" _ j) + 2 = o. 



» Premièrement, les courbes d'ordre [ni — [j.) forment un faisceau, c'est- 



H-dire qu elles satisfont aux conditions de passer par ^ -^ ~ — 1 



