( 932 ) 

 points simples. En effet, la condition d'avoir un point d'ordre r — p équivaut 



à la condition de passer par — points; donc les courbes satis- 

 font aux conditions de passer par des points en nombre 



{r -o){{r-p + l) (2-p')(3-p') (i-p")(2-p") (/»-!)(/« -2) 

 1 _| _)_ 



2 2 2 2 



— — — - — V — 1 + 3i7i — inp. — 6 + V 4- r{p — i) + 2 p' -h p" 



111^ + 3 m — 7. m il. + 2 o plp — i) p'(p' — il p"((5" — i) 



2 222 



OU, en vertu de l'équation de condition, 



nr -I- 3 m ■ — 2111 \j. + u? — 3 u. (m — 'Aim — y. -I- 3) 

 ■ ■ — I = "-^^^ ■ ■ — I . 



» Secondement, chaque courbe du faisceau a en commun avec C,„ des 

 points en nombre 



/■(/■ — jî) + 2(2 — p') + (1 — p"j + ('" — 0('" — 2) — /■(/• — i) — av 

 -1- 3Hi — inij. -(- V — 6 + /'(p — i) + 2p' + p" — in[m — p.) — (v + i). 



M Vil. Si la courbe C,„ n'a que des points doubles, et que les courbes 

 du faisceau ne doivent avoir aussi que des points doubles et des points 

 simples sur C,„, on obtient ce double théorème ; 



» Lorsqu'une courbe C,n a — v jjoinls doubles, on détermine 



sur celte courbe des groupes de (v + i) points, au moyen d'un faisceau de 

 courbes d'ordre m — i, ou m — 2, ayant sur C„j : 1° d points doubles coinci- 

 dant avec des points doubles; 1° des points simples coïncidant avec les autres 

 points doubles deC„,^ et 3" d'autres points simples, en nombre 2 m — 3 — 2d+v 

 dans le premier cas, e< m — 3 — ad + v dans le second cas. 



HISTOIRE DES SCIENCES. — Réponse aux observations présentées d(nis la dernière 

 séance par M. Bertrand, à propos r/'Aboul-Wefâ; par M. Chasles. 



i( La Note de M. Bertrand insérée dans notre dernier Compte rendu 

 oppose deux objections au sens que j'ai donné au passage si discuté 

 d'Aboul-Wetâ. 



» Il s'agit, en premier lieu, de la phrase d'Aboul-Wefâ par laquelle il 

 dit que sa troisième inégalité s'ajoute aux deux premières, et à autre chose, 



