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MÉMOIRES LLS. 



PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intéijration des équations aux différences 

 partielles de la fjliysicjne matliématique. Mémoire de M. [É. Mathieu. 

 (Extrait par l'auteur.) 



(Commissaires : MîM. Bertrand, Serret, Bonnet.) 



« Désignons par a\ j", z, ou .r, j seulement des coordonnées rectangu- 

 laires, suivant cpi'on s'occupe des questions à trois ou à deux dimensions; 

 les principales équations aux différences partielles que l'on rencontre en 

 physique mathématique sont, en posant 



. d'il d'il d''it d'u d^il 



àu — --; + -— -h -y- ou -r-:-t--rT' 

 d.t- dy dz' d.T- dy' 



les suivantes : 



A A A « o ''/« 1 . d''u „ 



A« = o, AA?£ = G, au =— a-Il. -r = n-A.u, -.— =a"A«, 

 ' ^ dt ^ dt- 



et la fonction u satisfait à une de ces équations dans l'intérieur d'un corps 

 terminé par une surface g ou dans l'intérieur d'une surface plane limitée 

 par une ligne s. De plus, u et ses dérivées du premier ordre doivent varier 

 d'une manière continue dans les limites indiquées. 



» Dans ces équations u représente une température, un potentiel ou un 

 déplacement moléculaire. Laplace considéra d'abord la première de ces 

 équations, A?/ = o, après avoir observé que le potentiel d'une masse quel- 

 conque extérieure à la surface a satisfait à cette équation dans l'intérieur 

 de cette surface. Toutefois, l'expression analytique de ce potentiel ne pou- 

 vait encore être considérée comme l'intégrale générale de cette équation; 

 mais cette intégrale est donnée par le théorème suivant : 



» Toute fonction u qui satisfait à l'équation Au = o dans l'intérieur de g, en 

 y variant d'une manière cunlinue ainsi que ses dérivées du j)remier ordre, peut 

 être considérée comme le potentiel d'une couctie infiniment mince de matière 

 distribuée sur la surface a. 



» Ainsi, l'intégrale de Am = o est / ^da^ r étant la distance d'iui point 



quelconque (^, ?', z) intérieur à ff à un point (a, /3, y) de la surface a, et p 

 est une fonction arbitraire du point (a, [i, y). On peut imaginer un système 

 de coordonnées dans lequel la surface g soit désignée par la constance d'une 

 des trois coordonnées, et alors p est une fonction arbitraire des deux coor- 

 données restantes. 



