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i> De celte façon, le spiral théorique est aisément réalisable et jouit en 

 outre de qualités sur lesquelles je ne m'arrêterai pas ici. Mais la solution 

 est encore plus complète lorsque, conservant ce type pour l'une des extré- 

 mités, on termine l'autre par une courbe théorique intérieure. J'ai été 

 conduit ainsi à démontrer que le spiral jouit encore des mêmes propriétés 

 lorsqu'il est terminé par deux courbes théoriques non symétriques. 



» J'ai trouvé une démonstration très-simple de ce fait, que j'extrais d'un 

 Mémoire rédigé en 1869, et encore inédit, sur le système régulateur des 

 chronomètres. 



» Poiu' que le spiral soit isochrone, il faut que Ton ait 



Yjc, — Xr, = o, 



Y et X étant les composantes de l'effort exercé par le spiral sur l'axe du 

 système, et x, et y, les coordonnées de son centre de gravité. 



» M. Phillips démontre que, si les composantes Y et X sont ludles, le 

 spiral se déformera uniformément, c'est-à-dire suivant la loi 



1 1 a 



Ro et R étant les rayons de courbure correspondant à un même point du 

 spiral et aux valeurs zéro et a de l'angle d'écart, L étant la longueur du 

 spiral; et réciproquement. 



» Puis M. Phillips déduit la forme des courbes terminales de cette con- 

 dition, que, Ja déformation ayant lieu suivant la loi exprimée plus haut, le 

 centre des spires reste sur l'axe, et il montre en outre que le spiral qu'elles 

 terminent a son centre de gravité sur l'axe, de sorte que l'on a 



jc, = o, r, = o. 



» i'our généraliser ces résultats au cas de ileux courbes non symétriques 

 nous suivrons le même ordre; nous montrerons d'abord que le spiral se 

 déforme avec la même approximation suivant la loi exprimée par 



1 I a 



R ~ r"„ ~l' 



et ensuite que son centre de gravité est encore situé sur l'axe de rotation. 



» Imaginons deux spiraux de même longueur totale, de même diamètre, 

 formés avec le même lil et lernùnés chacun par deux courbes symétriques 

 appartenant à des types différents et quelconques. 



« Chacun de ces spiraux se déformera suivant la loi mdiquce, et connue 



