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séries ch; points « et a' qui se correspondent anhaiinoniquenient; ils se 

 démontrent tous par le Principe de correspondance, dont ils offrent des ap- 

 plications extrêmement variées, tandis que la plupart offriraient tout au 

 moins de grandes complications de calculs aux méthodes analytiques. 



» Ces théorèmes font suite à ceux que j'ai donnés, dans une Communi- 

 cation antérieure, sur le même sujet des «acA /ian;jOHÙ/ue5 (*), et s'y ratta- 

 chent par une considération fort simple. Dans ces premiers, relatifs aux 

 axes harmoniques d'une courbe U,„, dont les pôles sont des points d'une 

 courbe U,„', ces points entrent, en général, deux fois dans l'énoncé d'un 

 théorème. Dans le suivant, par exemple : La tangente en chaipie joint a 

 d'une courbe U,,/ coupe l'axe Itainionicpie de ce point, relatif à la courue U,„, 

 sur une courbe de l'ordre m' (m — i)+ '^ i '^ pointa entre deux fois; il 

 donne lieu d'abord à une tangente, puis à un axe harmonique. Qu'on lui 

 substitue une fois le point a' qui lui correspondrait sur U,„', supposée uni- 

 cursale, on aura cette question : La tangente en clicupte point a d'une 

 courbe U,„' coupe l'axe harmoniipie du point a' en un point dont on demande 

 le lieu. On trouve que ce lieu est luie courbe de l'oidre m'^i/i — i) + n\ 

 comme dans le théorème primitif, mais qui devientici m'(/7i — i) — 2, parce 

 que U,„' étant unicursale n' ^ 2{m' — i). Généralement, le procédé de 

 démonstration conduit, comme dans cet exemple, à la même expression 

 du résultat cherché, où l'on tient compte ensuite de cette circonstance, que 

 la courbe U,„' est unicursale; toutefois il y a des exceptions qui proviennent 

 de solutions étrangères dans la démonstration; de sorte qu'il faut faire 

 nécessairement une démonstration directe. 



» Ce que nous disons des points qui interviennent deux fois dans 

 l'énoncé d'un théorème doit s'entendre des droites aussi. Par exemple, 

 <lans ce théorème : Si par les pôles des tangentes d'une courbe U,,,', considérées 

 comme axes harmonirptes de V,,,, on mène des parallèles à ces tangentes, ces 

 jiarallèlcs enveloppent une courie de la classe n'ni(m — i), chaque tangente 

 sert à déterminer des pôles, puis des parallèles; on se proposera donc cette 

 question : Si par les pôles de la langenle en chaque point a de U,,/, unicursale j 

 on mène des parallèles à la tangente en a', quelle est la courbe enveloppe de ces 

 parallèles? Cette courbe est de la classe 2ni[m — i) [nï — i). 



» On conçoit cpi'il se trouve, dans toutes les parties de la théorie des 

 courbes, des théorèmes qui donnent lieu à des questions seudjlables, con- 

 cernant des couples de points sur une courbe unicursale, au lieu de points 



(*) Ci>iiijjfc.'< niida.s, t. LXXlll, sciiiici' au .'4 juillet 1871. 



