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uniques sur une courbe quelconque. Mais il est aussi de nombreux théo- 

 rèmes clans lesquels les couples de points ne peuvent pas être rempincés 

 par des points uniques : ce sont ceux notamment où entre quelque condi- 

 tion relative aux cordes an' elles-mêmes. 



» Je vais réunir, comme exemple, dans un même énoncé de théorème, 

 formé de trois parties, des conditions répondant aux diverses considéra- 

 tions qui précèdent sm- ce genre de questions et la facilité de la mi'thode 

 de démonstration qui s'y applique. 



» Que l'on ait quatre courbes U,„, U,„', U,„", U,„"', dont la seconde U,,/ 

 est unicursale, et sur laquelle sont deux séries de |)oinls n, n' qui se coi-- 

 respondent aniiarmoniqiienient. On prend les axes harmoniques des points 

 de U,,/ par rapport à U,„, et, si l'on a à considérer une droite comme axe 

 harmonique, c'est encore comme axe harmonique de U,„. 



» Théorème. — De cliaqae point a d'une courbe U„/ unicunale on mène à 

 une courbe U,,// une tanc/cnle. Inquclle rencontre une autre courbe U,,/" en m'" 

 points a; et de chacun de ces points on mène des droites aux jiàles p de lu 

 corde aa', requrdée co:>nne axe liarn^onicpte d'une courbe U,„ : 



» i" Ces droites ap enveloppent une courbe de la classe 



ii"m"'(m — i)(m'm + m' — 2); 



» 1° Elles rencontrent la corde aa' sur une courbe de l'ordre 



n"m"'(m — i)(3mm' — 2m — m'); 



» 3^ Elles rencontrent l'axe harmonique du point a sur une courbe de 

 l'ordre n"m"'(m — i)(ni'm- — mm' + 2m' — 2). 



)) Démonstration. — i" Une droite IX rencontre U^^î"» en ni" points u, fl'où 

 l'on mène m'"n" tangentes deU,„", lesquelles coupent U,„'en m' n" m'" poinls a ; 

 par les pôles des ni' n" ni" cordes aa', on mène nin"m"'[ni — i)- droites lU. 

 Une droite TU passe par les pôles de 2(;«' — i)(/?i — i) cordes /rr/'; par 

 les points n on mène 2ti"[ui' — i)[m — i) tangentes de U,„", qui ren- 

 contrent U,„" en 2n" ni"[in' — \){^ni — \) points a, par lesquels on mène 

 2ri' rn'"[in' ^ i){ni — i) droites IX. Il existe 



in'n"ni" [ni —1)^-1-2 ri' ni" (ni — 1 ) (/n — j ) = ri'ni" {ni — 1 ) . tn'nj + ni — 2) 



points^, qui couicidenl chacun avec un point u corres|)ondant. Donc ce 



nombre exprime la classe de la courbe cherchée; ce qu'il fallait prou\er. 



» 2° Pai' lui point X d'une droile L passent ^[m' — 1) cordes f7a'; par 



chaque point a on mène ?/" l:ingenles de U„/f, et par le;; ti'ni" points « i^ù 



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