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elles rencontrent U„,w on mène n" m" [m — i)'- droites «/? aux pôles de la 

 corder/a'; ce qui fait, à raison des 2(///' — i) points rt, 2n"m"'{in'— i){m— ^Y 

 droites a.p, qui coupent L en 2.?i"m"'[m' — i)(m — i)- points u. Par un 

 point u passent n" m'" {m — i)[ni'm + m' — 2) droites «y?, lesqTielles cou- 

 pent L on ii"in'\m — \){in'in -|- m' — 2) points x. 11 existe donc 



2n"m"'{m — 1)- + n" m'" [m — i) [nï m 4- vi' — 2) 

 = ?t"m'"{ni — ])i'5in'in — 2 m — m') 



points j:- qui coïncident chacun avec un point u correspondant. Donc la 

 courbe cherchée est de cet ordre. G. Q. F. P. 



» 3° Par un point jc d'une droite L passent m' [m — i) axes harmoniques 

 des m' {m — i) points a, d'où l'on mène n"m'[m — i) tangentes de 

 U,„", qui coupent U,,,'» en n"m" m'[in — i) points a, il'où partent 

 n" iii'"m'[in — i) [ni — 1)^ droites up, passant par les pôles des cordes aa', 

 lesquelles coupent L en 11" m!" m' [m — i)' poinis u. Par un point 11 

 de L passent v" ni" [m — i)[in' m + m' — 2) droites ap, appartenant à 

 n"ni"'[m — i)[m'm -h m' — 2) cordes aa', et les axes harmoniques des 

 points a coupent L en n"m'"[m — i)[m'm -\- m' — a) points x. Il existe 

 donc 



n"in"' m'[m — i)^ 4- n" m"' [m — \)[m'm + m' — 2) 



= n" ni'" [m — i][m'in^ — mm' -+- im' — 2) 



points a' qui coïncident chacun avec un point u correspondant. Ce nombre 

 exprime donc Tordre de la couibe cherchée. G. Q. F. p. 



» Dans le théorème que nous venons de démontrer on a eu à chercher 

 une courbe enveloppe de droites, et deux lieux géom.étriques. Mais le 

 principe de correspondance s'applique avec la même facilité à des solu- 

 tions en nombre déterminé, comme on l'a vu notamment dans la théorie 

 des deux caractéristiques. Les questions relatives à une courbe iinicursale 

 en offrent de nombreux exemples. Eu voici un. 



» Théorème. — // existe sur une courbe u/Jicun«a/eU„,'2m'(m' — i)(m — 1) 

 points dont les axes hnrmoniqiies sont des cordes aa'. 



» Démonstration. — A un point a' correspond un point a; parce point a 

 passent m'[m — i) axes harmoniques ayant chacun un pôle siu' U,,/; ces axes 

 harmoniques rencontrent U,,,- en m' [m — ij (m' — i) points a" qui conespon- 

 dent au point a, et par conséquent au point a'. De ?nème, par un point a" 

 passent m' (w — r) axes harmoniques qui coupent U,„' eu w'(/h — i) (/«'— 1) 



