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 points a, auxquels correspondent m' [m — i) {m' — t) points a'. Il existe 

 donc in'[in — i) [m' — i) + m'{}n — i) [m' — i ) = im'im — i) {m' — i ) ' 

 points a" qui coïncident chacun avec un point a'; et conséquemmenl il 

 existe cun'lm — i)(m'— i) cordes aa' qui, considérées comme axes har- 

 moniques de U,„, ont un pôle sur U;„'. c. Q. F. D. 



» On peut donner au théorème cet énoncé différent : // existe, sur une 

 courbe uniciirsale U,„', 2m'(m' — i)(m — i) points a tels, qu'un des axes har- 

 moniques de U,„, a/ant leurs pôles sur U,„' et passant par le point a^ coïncide avec 

 les cordes aa'. 



» Ce résultat pouvait être prévu, car le lieu des pôles des cordes aa', 

 considérées comme axes harmoniques, est d'ordre a(»2'— i)[m — i); mais 

 il demandait une démonstration directe. 



» Les théorèmes auxquels peut donner lieu cette théorie des axes har- 

 moniques associés à une courbe unicuisale U,,/ sont très-nombreux. Nous 

 avons essayé de les classer par chapitres et paragraphes dont le sujet prin- 

 cipal y est indiqué. 



Chapitre I. 



» On a deux séries de points a, a' qui se correspondent sur U,,/, et l'on 

 considère les axes harmoniques de ces points relatifs à une courbe U„, 

 ainsi que les pôles des tangentes ou des normales de U,„' prises pour axes 

 harmoniques de U„. 



^ I"'. ■ — Théorèmes relatifs nux seuls points on tangentes et normales de Uni'. 



» 1. Il existe^ sur U,„', mm' couples de points a, a' tels, que l'axe harmo- 

 nique du point a passe par le point a'. 



« 2. Il existe, sur U„;', m' (m' — a) (m + i) couples de points a, a' tels, que 

 l'axe harmonique du jjoint a pas^e par un des points d' intersection de ta 

 corde aa' avec U,,/. 



» 3. Il existe, sur U^', m' m -H m' — a points a dont les axes harmoniques 

 sont parallèles aux tangentes des points a'. 



M 4. // existe m' m + m' — a points a dont les axes harmoniques sont per- 

 pendiculaires aux tangentes des points a'. 



» 5. // existe tnm' -t- m' — 2 points a dont les axes harmoniques sont pa- 

 rallèles aux cordes aa'. 



I) 6. Il existe m' m + m' — 2 points a dont les axes harmoniques sont per- 

 pendiculaires aux cordes aa'. 



