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 » Un géomètre allemand, M. H. Weber, vient de consacrer un long Mé- 

 moire [Journal de Borchardl, t. LXXIV) au calcul de l'expression analogue 



$ = \ e'"'^'^' 



=s 



où y est une fonction homogène du second degré en J,,-» ^p- Cette ques- 

 tion peut se traiter bien plus simplement, comme nous allons le montrer. 

 Soit fi le plus grand commun diviseur des coefficients de J et de «; 

 posons 



— f '-^f 

 I], 7',... étant des nombres premiers : l'expression e " =e" reprenant 



la même valeiu- lorsqu'on donne à i^,,..., 5^ tous les systèmes de valeurs qui 



ne diffèrent que par des multiples de n', on aura 



— pi' \ e" ' = pP^'. 



» On pourra donner à J,,..., Sp un système de valeurs a,,..., a^ tel, que 

 j ' soit premier à q. En effet, par hypothèse, q ne divise pas à la fois tous 



les nombres c^^...^ Cp, f/, j, S'il ne divise pas c,, on pourra poser «, =: j , 



«2 = ... = «p = o. S'il divisée,,..., Cp, sans diviser </,,, par exemple, on 

 posera a, = aj := i , ^3 = . .. = a^ = o. 



» On pourra de même donner à .?,,•••! ^p "" système de valeurs a\,..., a',, 

 tel, que/' devienne premier à q\.... Cela posé, on pourra déterminer 

 des entiers a,,..,, c^ satisfaisant aux relations 



(7p ss «p ( mod . f/ ) i-=s a.[ ( mod . f/') ^ . . . , 

 et le nombre 



c, = f [g,,... ,<7p)^''{u,,... ,ccp) [mod. q)EE^f'{a:^,...,C(],){^uo<\.q')^... 



sera premier k q, q',..., et par suite à n'. 

 » Posons maintenant 



i s, = <7, t, + a,.J2-h ... H- a,p fp, 



(0 ' 



( Sp — Gptp ^ap., -h...-h app tp. 



A chaque système de valeuis de <,,..., /^ (mod. «) correspondra un seul 

 système de valeurs de .y,,..., j^^, et réciprotjuement , pourvu que le déter- 

 minant A des équations (i) soit prtuuer à n. 



