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GÉOMÉTRIE. — Sur les droites qui satisfont à des conditions données. 

 Note de M. Halpiiev, présentée par M. Chasles. 



« I. Une droite, étant déterminée par quatre conditions, peut être assu- 

 jettie à des conditions simples, doubles, triples, quadruples. 



» Quand des droites satisfont à une condition simple, il y en a un nom- 

 bre fini passant par un point donné et situées dans un plan contenant ce 

 point. Nous appellerons ce nombre le decjré de la condition simple. 



» Quand des droites satisfont à une condition double, il y en a un nombre 

 fini dans un plan donné. Ce nombre est Vordve de la condition doidile. Il 

 y a un nombre fini des mêmes droites passant par un point donné. C'est 

 la classe de la condition. Si la condition double se compose de deux condi- 

 tions if'm/j/es séparées, ces deux nombres, o;Wre et classe, sont égaux tous 

 deux au produit des degrés des deux conditions simples. 



» Quand des droites satisfont à une condition triple, elles forment une 

 surface gauche. Le degré de cette surface marque le nombre de ces droites 

 qui rencontrent une droite donnée. 



» Quand des droites sont déterminées par des conditions données, com- 

 posées d'au moins deux groupes séparés, leur nombre est une fonction des 

 éléments caractéristiques de ces conditions. La recherche de ce nombre 

 peut se réduire à deux cas : 



» 1° Les droites satisfont à une condition triple et à une simple; 



» 2° Les droites satisfont à deux doubles conditions. 



» Je me propose ici de montrer que le premier de ces deux problèmes est 

 résolu par le théorème suivant : 



M Théorème. — Le nombre des génératrices rectilignes d'une surface réglée, 

 qui satisfont à une condition simple , est le produit du degré de la surface par le 

 degré de la condition. 



» Je vais démontrer ce théorème. 



» IL Soit O un poHit fixe dans un plan fixe P. Considérons une droite 

 quelconque D, et, dans le plan de cette droite et du point O, la perpendi- 

 culaire menée en ce point à l'intersection des deux plans. Soit le point de 

 rencontre de cette perpendiculaire et de la droite D. 



» Soit une surface réglée 1, de degré p. Ap|)liquons la construction ci- 

 dessus, le point O et le plan P restant fixes à toutes les génératrices recti- 

 lignes D de la surface 2. Le lieu des points il est une ligne L de cette sur- 

 face, et dont le degré est ap. 



» En effet, il est clair, tout daboid, que les p génératrices D de la sur- 



