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)) Parmi ces systèmes, il y en a mp qui correspondent à des couples de 

 droites conjuguées dont les traces sont sur la perpendiculaire menée par O 

 à l'axe. 



» TI y en a imp dont les points £1 sont dans le plan P. Ces points sont 

 les 2/j points de la ligne L dans le plan P, à chacun desquels correspon- 

 dent m couples. 



» Il reste donc, en tout, mp couples de droites conjuguées confondues, 

 ce qui démontre le théorème annoncé. 



» III. Remarques. — i° Le théorème est évident quand la condition 

 simple consiste en ce que les droites rencontrent une courbe de degré m. 



» 2° La considération de la ligne L d'une surface 2 peut servir à dé- 

 montrer ce théorème : Deux surfaces gauches corrélatives ont des lignes dou- 

 bles de même degré. 



» En effet, la ligne L correspond point à point à une section plane de la 

 surface 3. D'autre part, on peut mener du point O la droite A, perpendi- 

 culaire au plan P, rencontrant cette courbe en p points; et, de même, les 

 deux asymptotes des cercles du plan P et de centre O, rencontrant chacune 

 celte courbe en p points, et, en plus, des droites rencontrant cette courbe 

 en deux points, autant de fois qu'il y a de plans passant par O et contenant 

 deux droites D de la surface 2. Par conséquent, en appliquant à la ligne L 

 et à une section de la surface 1 le théorème de la correspondance, et en dé- 

 signant par s le nombre des points doubles de cette section, par,ï' le nombre 

 des plans menés par O et contenant deux droites D, on aura 



p{p — 3) — QS = 2p[ap — 3) — 2s' — ^p{p — i) ou sz=s'. 



» D'ailleurs s' n'est autre chose que le nombre des points doubles 

 des sections de la surface corrélative de 2. Donc le théorème est dé- 

 montré. 



» Cette propriété est d'ailleurs fort évidente si l'on considère que deux 

 sections planes de surfaces gauches corrélatives sont des courbes se corres- 

 pondant point à point et de même degré. Elles sont, par suite, de la même 

 classe. 



» 3° Je terminerai en citant les valeurs des degrés de quelques condi- 

 tions simples : 



» Droites rencontrant sous un angle donné une surface de degré p et 

 dont les sections sont de la classe g, 



m = 2{p -t- g); 



)) Droites rencontrant sous des angles égaux deux surfaces de degrés/;, //, 



