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a La prétention de faire reposer la science sur le raisonnement seul, 

 » sans y laisser intervenir le sentiment intime relatif aux idées d'espace, 

 » semble absolument chinjérique; l'évidence, quoi qu'on fasse, doit être 

 » invoquée. » 



» Celui qui prétend démontrer le postulatum d'Euclide s'adresse natu- 

 rellement aux esprits assez difficiles pour n'eu pas admettre l'évidence, et 

 cherche à leur montrer, dans le cas où ils refuseraient de l'accepter, des 

 conséquences tellement absurdes, qu'il soit impossible à personne de s'y 

 arrêter. 



» Cette manière d'envisager la question est formellement contestée par 

 plusieurs géomètres fort distingués, qui m'ont fait l'honneur de m'écrire à 

 ce sujet. Voici, car ils sont tous d'accord, le terrain sur lequel ils entendent 

 se placer, en refusant absolument d'en sortir. 



» On admet sur la ligne droite quatre principes : 



>i 1° On peut d'un point à un autre mener une ligne droite, et l'on 

 n'en peut mener qu'une; i" une ligne droite peut être prolongée indéfini- 

 ment dans les deux sens; 3" deux portions de ligne droite peuvent coïn- 

 cider; 4° 1^ ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre. 

 On suppose enfin qu'il existe une surface indéfinie nommée plan, et telle 

 que toute ligne droite qui passe par deux de ses points y soit située tout 

 entière. 



» Sur ces principes, on n'a pas d'explication à donner, ils sont la base 

 delà science, il faut les accepter si l'on veut étudier la géométrie; mais cela 

 fait, tout doit être démontré par des syllogismes dont les prémisses soient 

 prises parmi les j)rincipes précédents, et toute phrase qui commence par : 

 // est évident que... est absolument interdite, on n'en écoute pas la fin, et 

 la démonstration où elle figiu'e est par cela même déclarée insuffisante. 

 Rien nest évident, les principes énoncés ne le sont pas plus que le reste; on 

 les admet : voilà tout, et l'on exerce sur eux sa logique. 



» On voit assez quelle déception attend auprès de tels juges ceux qui, 

 comme M. Carton, s'efforcent de faire appel, sous inie forme dont l'évi- 

 dence soit irrécusable, à ce sentiment intime relatif à la ligne droite, dont 

 il est impossible d'affranchir le géomètre. 



» Le postulatum d'Euclide, dont, pour ma part, l'évidence me satisfait 

 complètement, équivaut à cette idée, insé|)arable de celle de la ligne 

 droite, qu'on peut exprimer en langage vulgaire, en disant que « la ligne 

 » droite ne peut présenter aucune déviation, si légère qu'elle soit. » La 

 démonstration de M. Carton suppose seidement que les lignes qui corn- 



