( 19 ) 

 posent sa figure ne sont pas entièrement crochues : c'est ce que no veulent 

 pas accepter les contradicteurs assez nombreux qui m'ont fait l'honneur 

 de m'écrire. 



» Voici l'objection qu'on lui adresse : Si l'on veut bien se reporter à la 

 figure de la page 126g, t. LXIX, on y voit la ligne C, C2...C„_, qui s'étend 

 indéfiniment au-dessus de la droite ABB|...B„, sans s'en écarter à une 

 distance plus grande que la hauteur du triangle ABC; la ligne droite 

 KDD,...D„_, , perpendiculaire à la hauteur de ce triangle, est tout entière 

 au-dessus de la précédente. On conteste la possibilité de réiniir ces deux 

 lignes par une droite C„_| n„_2, partant du point €„_, et ne pénélrant pas 

 au-dessous de la première. Qui sait, dit-on, si, pour aller trouver cette ligne, 

 tout entière au-dessus de CC,.. . €„_, , il n'est pas nécessaire de s'enfoncer 

 d'abord au-dessous pour remonter ensuite, en coupant deux fois la ligne 

 ce,... C„_,, qui n'est pus droite? 



» L'objection, il faut en convenir, est autorisée par les règles du jeu, 

 telles que les ont faites les auteurs de la géométrie imaginaire. L'assertion 

 de M. Carton conserve une entière évidence; mais le parti est pris et an- 

 noncé d'avance de ne pas examiner ce genre de preuves. 



» Si l'on s'attache à l'idée essentielle de la démonstration, on peut, au 

 lieu de disposer en ligne droite les n triangles égaux qiji y figurent, les 

 placer arbitrairement sur le plan, et les renfermer ensuite dans un quadri- 

 latère arbitrairement choisi. La démonstration s'achève ensuite en toute 

 rigueur, et c'est ainsi que je l'avais rédigée d'abord. Mais on conteste alors 

 la possibilité de former sur un plan un quadrilatère aussi grand qu'on le 

 voudra. Les partisans de la géométrie imaginaire n'admettent rien. Ils ne 

 contestent pas davantage; on fait appel à l'évidence, cela leur suffit, ils ne 

 se chargent plus d'apprécier. 



» Si l'on insiste cependant en recherchant les conséquences absurdes de 

 la supposition qud faut faire, ils les admettent sans hésiter, en disant : Les 

 choses sont ainsi en effet dans la géométrie imaginaire. Entrons dans le dé- 

 tail. Pour prouver que l'on peut, dans un plan, former un quadrilatère 

 aussi grand qu'on voudra en surface, prenons une droite AB, aussi longue 

 qu'on le voudra, élevons à ses extrémités, et du même côté, deux perpen- 

 diculaires AP et BQ, égales entre elles et, de même que AB, aussi longues 

 qu'on le voudra. Joignons PQ, n'cst-il pas évident que le quadrilatère ABPQ 

 peut croître sans limite? 



» Non, répond-on, et, sans se retrancher dans la réponse sommaire : 

 Rien n'est évident, dont on manitient pourtant la légitimité, ce/n n'est pas vrai, 



3.. 



