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» D'où il suit que l'équilibre n'est stable qu'autant qii'un petit écart a 

 lieu rigoureusement dans la ligne dite axe de slabilité. Cela revient à dire 

 qu'un équilibre stable n'a qu'une probabilité nulle, ou est impossible, dans 

 le système où la répulsion (et de même l'attraction si l'on en avait une) 

 suit la loi supposée, et où la dérivée première ç/'(o) de la fonction dite des 

 masses n'est point nulle. 



» Telle est la conclusion assez remarquable du premier Mémoire. 



» Le deuxième Mémoire considère des cas d'équilibre fort curieux, 

 savoir : ceux dans lesquels une ou plusieurs des dérivées successives de la 

 fonction y(z) des masses s'annulent en même temps que f{z), c'est-à-dire 

 pour une valeur particulière de z qui soit une des valeurs donnant une 

 position d'équilibre. 



» Alors, si n — 1 dérivées s'annulent, on a ce que l'auteur appelle un 

 équilibre de n'""" ordre; et l'équation ci-dessus, en faisant toujours pour 

 plus de simplicité z=o, ou en prenant la situation d'équilibre pour 

 origine, est remplacée par 



p /( O ) 1 . 2 . 3 . . . rt 



» L'auteur montre qu'il y a, passant par l'origine, n + i directions de 

 stabilité, divisant le plan en n -t- i angles égaux, et «4- i directions d'insta- 

 bilité bissectrices de ces angles. Ces dernières directions ne sont autre chose 

 que les prolongeineiils des premières lorsque n est pair. 



» Comme exemple de cet équilibre de l'oidre n, on peut citer le c;.s où 

 les poinis fixes, de masses toutes égales, occupent les sommets d'un polygone 

 régidier de n eûtes. Alors l'équ.itinn o[z) = o doniuuit les situations d'équi- 

 libre a ses Ji racines toutes égales, en sorte que la situation d'équilibre est 

 luiique et se trouve au centre du |)olyg(Uie. Les directions de stalulilé sont 

 suivant les rayons du jjolygone, et celles d'instabilité suivant les apothèmes. 



» L'analyse pure donne, comme on sait, des résultats analogues dans un 

 certain nombre de questions, i)ar exemple dans celle des formes courbes 

 représentées en coordonnées polaires p et par l'équation çi" co?,uB —a", 

 où a est une constante et n un nombre entier positif ou négatif. 



» Dans le cas singulier que nous considérons, il est remarquable que si 

 le mobile est infiniment peu écarté de sa situation d'équilibre dans une 

 direction qui ne soit pas une des 2« -+- a principales dont on vient de parler, 

 puis abandonné à lui-même, il décrira une trajectoire n'ayant pas de 

 branche infinie, en sorte que le rayon vecteur infiniment petit de celle-ci a 



