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 autres les substitutions de la forme 



(B) I ^< J'i ^n J I ^ ~^ (^Xi J^t -^n J I !• 



» Elles permuteront donc exclusivement entre elles les neuf fonctions i, 

 2, 3, lo, I I, i8, 19, 26, 27, que les substitutions (B) n'altèrent pas. Soit 

 donc (f une fonction symétrique des neuf fonctions ci-dessus; elle sera une 

 fonction rationnelle dey! Réciproquement f sera une fonction rationnelle 

 de (p; car s'il en était autrement, le groupe (C), formé par celles des substi- 

 tutions du groupe de X qui n'allèrent pas (p, étant plus général que (A), 

 aurait pour ordre un multiple de celui de (A), et, par siiite, le degré de 

 l'équation dont dépend f se réduirait à tni diviseur de 4o, résultat absurde, 

 les équations Y et Z n'ayant aucune réduite de degré inférieur à 27. Donc 

 f sera elle-même une fonction symétrique de 1, 2, 3, 10, 11, 18, 19, 

 ■i6, 27. 



•' Cela posé, désignons par i, 2, 3,..., 45 les triangles d'une surface du 

 troisième ordre; par (apyôe) la droite qui figure dans les cinq triangles a, 

 ]3, y, à, £; soient, comme à l'endroit cité, 



(i, 37, 34, 4i, 45),..., (m, 38, '23, 29, 6) 



les 27 droites On vérifiera aisément que Veniiéaèdre formé |)ar les triangles 

 1,2, 3, 10, II, 18, 19, 26, 27 jouit des propriétés suivantes : 



» 1° Ces triangles n'ont aucune droite commune; 



» 2° Soient a, h deux quelconques d'entre eux; le triangle c qui, com- 

 biné avec a et b, forme un Irièdre (défini à la façon de Sleiiier), fera lui- 

 même partie de l'ennéaédre. 



)) Il résulte évidemment de ces propriétés que, l'ennéaédre étant supposé 

 connu, les neuf triangles dans lesquels il se décompose ne dépendront plus 

 que d'une équation hessienne (on verra aisément qu'il faudra encore ré- 

 soudre une équation du troisième degré, à discriminant carré, pour obtenir 

 les 27 droites). 



» On peut s'assurer comme il suit que ces propriétés suffisent à caracté- - 

 riser complètement nos ennéaèdres. 



» Soient T,, T, deux triangles quelconques n'nyant . ucune droite com- 

 mune, T3 celui qui forme un trièdre avec les deux-là, T^ un triangle cpii 

 n'ai! aucune droite commune avec les trois précédents, T5 celui qui com- 

 plète le trièdre T,, T<. Il existera quatre triangles seulement, T^, T,, Tj, T9 

 n'ayant aucur'.e droite commune avec les précédents. Le nombre des sys- 

 tèmes de 9 triangles tels que T,,..., T, est égal à 45. 32. 12, car on peut 



