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(l'ordre «, diviseur de ^''— i, aufre que i; et -^ —(^{n) d'ordre n, 



fliviseiir de p' ^ '> antre que i et 2. » 



OÉOMÉTRIE. — Sur la déformation ries surfaces. Note de M. A. Ribaccour, 



présentée par M. Serret. 



« Lorsqu'un corps invariable de forme est assujetti à quatre conditions, 

 M. Mannhein a fait voir que, généralement, ses points décrivent des sur- 

 faces, et qu'à un instant déterminé, les normales à ces surfaces s'appuient 

 toutes sur deux droites. Dans le cas particulier où ces deux droites se ren- 

 contrent toujours, <( les lieux de leurs points de rencontre , dans l'espace 

 » et dans le corps, sont deux surfaces applicables l'une sur l'autre ». 



» 11 résulte de là que, dans l'espace, l'étude de la déformation des siu-- 

 faces est analogue à l'étude dans le plan du mouvement le plus général 

 d'une figure, et que l'on peut trouver des propriétés de la déformation 

 comme on trouve des propriétés relatives au roulement de la roulette 

 sur la base. En cherchant dans cette voie, j'ai rencontré plusieurs propo- 

 sitions que je réunirai dans un prochain Mémoire. Je demande à l'Aca- 

 démie la permission d'en citer ici quelques-unes : 



» J'ai fait voir, dans luieComnuuiicationà la Société Philomalhique, que : 

 « Si des cercles ayant leurs centres sur mie courbe (A) sont entraînés 

 » avec leurs centres dans une déformation sans extension de (A), la sonune 

 » algébrique des arcs correspondants des deux courbes-enveloppes de ces 

 » cercles est constante ». 



)i Ce théorème s'étendra à l'espace par les propositions suivantes : 



Cl Si des sphères ayant leurs centres siu- une courbe à double cour- 

 » bure (A) sont entrauiées avec leurs centres dans une déformation sans 

 H extension de (A), l'aire de la surface-enveloppe reste constante. 



i> Des sphères ayant leurs centrer sur une surface quelconque (A), si 

 >. l'on suppose qu'elles soient entraînées avec leurs centres dans une défor- 

 » ination de (A ) : 



)i 1° F^a somme algébrique des aii'es correspondantes des deux nappes 

 de la surface-enveloppe de ces sphères est constante, quelle que soit la 

 .' déformation de (A); 



» 2° J^a sonune algébrif]iu' des valeurs sphériques de ces aires corres- 

 » pouilantes est aussi indépentlaute de la loiiin- de (A) ». 



» Ces deux derniers théorèmes sont, comme on le voit, une extension du 

 célèbre tliéorènu- de Gauss; en voici une seconde : 



