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» Dans chaque plan tangent d'une surface (A), marquons im point M 

 qui sera déterminé par les coordonnées du point A où le plan tangent 

 touche (A). Par le point M, menons une parallèle à la normale en A à (A). 

 Tontes ces droites rem|)lissant l'espace sont tangentes à deux surfaces (B) 

 et (Cj, la droite issue de M les touchant en B et C. 



» Si l'on suppose que ces droites sont entraînées en même temps que 

 les plans tangents de (A) dans une déformation de cette surface, le produit 

 de MB par MC reste invariable. 



)i On peut, de ce théorème, déduire celui sur les enveloppes de sphères 

 à l'aide de la théorie des pinceaux de droites inaugurée par Kummer. 



» Je m'étendrai plus longuement siu- une dernière proposition générale : 



« Des courbes sont tracées dans les plans tangents d'une surface (A). 

 11 Si elles sont normales à une famille de surfaces, elles jouissent toujours 

 )) (le cette propriété, quelle que soit la forme de (A) ». 



)> Supposons que ces courbes soient des cercles. J'ai énoncé à la Société 

 Philomathique cet autre théorème : 



« Si des cercles sont normaux à trois surfaces, ils le sont à une famille 

 » de surfaces faisant partie d'un système triplement orthogonal ». 



» Il en résulte une classe de systèmes triples orthogonaux que je pro- 

 poserai d'appeler systèmes cycliques, intimement liée a la déform.ilion des 

 surfaces. 



M Étant donnée une surface (A), on peut se proposer de chercher tous 



les systèmes cycliques qui en dérivent; le ds- de cette surface étant mis 



sous la forme 



ds'^ =: X^ .dx dy, 



on est conduit a l'équation du secoml ordre 



(■) {^-^-mm-m^[v;-^ 



= o, 



(Ix d) 



où /;, q, S sonl les dérivées de Z par rapport à j: el r ; Z étant d'ailleurs 

 une fonction qui suffit à déterminer le cercle relatif à chaque plan tangent 

 de (A). 



» Il résulte de ceci que l'intégrale générale des i/sièmes cycliques cori'es- 

 pondant à une surface (A) contient quatre fonctions arbitraires : deux ré- 

 sultant de l'équation (j), et deux relatives à la forme de (A). L'équation (i) 

 s'intègre immédiatement lorsque (A) est développable. .Te mentionnerai, 

 paiiiù les iystèines cycli(iues, celui qui correspond à des cercles de ravon 

 constant. Dans ce cas, " les surfaces ir.ijecloires de ces cercles sont toutes 



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