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 1 insertion îles travaux de M. Hoiizeau sur cette matière, tlaiis le Reriiril 

 des Saunnls étrangers. » 



T.es conclusions rie ce Rapport sont adoptées. 



MÉ:\IOIRES PRÉSENTÉS. 



GÉOMÉTRIE. — Mémoire sur les courbes gauches al(jébriques. Mémoire <le 

 M. G. Halphen, présenté par JM. Chasles. (Extrait par l'Auteur.) 



(Commissaires: MM. Chasles, Bertrand, O. Bonnet.) 



« Dans le Mémoire que j'ai l'honneur d'adresser à l'Académie, je me suis 

 posé la question suivante: Trouver toutes les ligues gauches (Fun degré donné; 

 et je suis parvenu à indiquer le moyen de résoudre entièrement ce problème. 



» La même question peut être posée sous une autre forme : Trouver 

 toutes les courbes algébriques tracées sur les sutfaces d'un degré do)mé. On 

 aperçoit immédiatement que la solution complète de l'un de ces deux 

 problèmes entraîne celle de l'autre. 



» La solution de ce second problème est contenue dans l'énoncé suivant : 

 Si Ton prend sur une surface de degré Ji chaque ligne A, de degré p, ayant au utoius 



{/)— n -i- l) (/} — n -h --i) (« — i){n — 2) (n — 3) 



2 "^6 



j)oinls doubles apparents [points doubles de la perspective ne correspondant pas 

 Cl des points doubles de la courbe), et qu'on y fasse passer, une autre surface ^ 

 cette surface coupe bi surface de degré n, en outre^ suivaiit une autre courbe B. 

 Les courbes B quon obtient ainsi en faisant varier p, et le degré de la seconde 

 su/face sont toutes différentes et constituent toutes les lignes existant sur la sur- 

 face proposée. Le degré de In seconde surface est le plus petit degré des surfaces 

 autres que celle de degré n qui passent par la courbe B. 



)) Si l'on cormaît donc toutes les courbes A, on pourra en déduire toutes 

 les courbes tracées sur une surface de degré ?i. Or j'ai donné le moyen de 

 trouver toutes ces lignes A. On peut donc considérer la qiuîstion comme 

 entièrement résolue. 



» A l'égard des courbes tracées sur les surfaces du second ordre, ce 

 tbéorème contient le cas particulier suivant, qui me paraît digne de re- 

 marque : Les surfrues de degré uiininnun, qui passent par une ligne algébrique 

 quelconque tracée sur une surface du second ordre, coupent, en outre, celle der- 

 nière seulement suivant des droites d'un même système. 



