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» Celte proposition conduit à répartir toutes les lignes algébriques tra- 

 cées sur lUie surface du second ordre entre deux systèmes, connue Us 

 droites. On en déduit aussi le résultat suivant : 



« Il existe, sur les surfaces du second ordre, des lignes gauches de de- 

 » gré p, dont le nombre des points doubles apparents est l'une quelconque 

 » des valeurs de l'expression 



^^^- '/(/'- 7), 



)> q étant un entier quelconque vai iant de p au plus grand entier contenu 



» dans 5 et il n'en existe pas d'autres. Ces courbes sont sur des sur- 



» faces de degré q. » 



» Le nombre minimum compris dans l'expression ^^^^ ~ ([{p — 7). 



qui est le plus grand entier contenu dans y- ) > est le nombre niini- 



nium des points doubles apparents des coiu'bes gauches de degré p. 



» Soit s le nombre des points doubles apparents d'une courbe de degré p. 



Tant que s est inférieur au plus granil entier contenu dans ^ ~ -, 



il n'y correspond que des courbes tracées sur des surfaces du second 



ordre. 



» Si s a inie des valeurs quelconques comprises entre le plus grand en- 



1 [p — f p — 2) /'(/-' — i) -1 1 ■ 1 



tier contenu dans -^ '-^ et ^^ > u y correspond toujours des 



courbes de degré/;, dont les dernières sont composées; et, parmi toutes 

 ces lignes, il y en a, pour chaque valeur de J, une située sur une siu-face 

 lin troisième degré. 



rr, . .. • f • . 30 (u 4) 3(/;> I ) f » 3) 3(«- 



» Tant que s est ultérieur a ' ' — —■, -^ i^ -, ou —i— 



« ' 8 ' "" 8 ' 



suivant que/) est congru à o, ± i,ou 2 (mod. 4)1 il n'y a pas d'autres courbes 

 que celles qui sont situées sur des surfaces du second ou du troisième 

 ordre. Là commencent les courbes tracées sur les surfaces du quatrième 



degré. 



» Tant que s ost intérieur a '—i- '~J- -', n étant un entier 



2 n 



inférieur ;i y'/^, et ;■ le reste de la division de /; par ii, il n'y a pas de courbes 

 qui ne soient situées sur des surfaces de degré (« — 1), ou de degré moindre. 

 Là commencent les courbes tracées sur les surfaces du /f'""'' ordi-e. 



