( 677 ) 

 suivante : , 



(8) X-hZp-^?r-i-qs-h'R-£-hS'^ = o. 



.1 Or, parmi les équations (3), (4), (6), (7), (8), six ne contiennent pas 

 la variable j^^i mais comme il y a sept inconnues, le changemeni de va- 

 riables proposé par Ampère n'a plus la même utilité que dans le cas du pre- 

 mier ordre : il ne peut donner la solution complète du problème. 



» La méthode précédente est susceptible d'une grandi; simplification, 

 dans le cas où l'équation proposée est de la forme 



(9) Hr+ aRj + L/ + M -+-N(r< — ^^) = o, 



et elle conduit sans difficulté aux équations de Monge et d'Ampère. Quoi- 

 qu'elle ne contienne rien d'absolument nouveau, je l'ai exposée dans l'in- 

 térêt de la clarté pour ce qui va suivre. 



» Puisque, dans le cas où l'on se borne aux inconnues r, s, t, z, y^ on 

 a une équation de moins qu'il ne faudrait pour la solution clierchée du 

 problème, il est naturel de se demander si, en adjoignant aux inconnues 

 précédentes les quatre dérivées partielles du troisième ordre que nous appel- 

 lerons a, S, 7, $1 et en profitant des relations différentielles, on ne parvien- 

 drait pas à un nombre suffisant d'équations pour déterminer connue fonc- 

 tions de a-, non-seulement les inconnues primitives, mais aussi «, /S, y, 0. 

 Il se présente ici un fait im()ortant et qui, je crois, n'a pas encore été re- 

 marqué. Le nombre des équations ne conlennnl pas }„ est encore inférieur 

 d'une unité au nombre des fonctions inconnues. Ces équations ne suffisent 

 donc pas à déterminer les inconnues considérées comme fonctions de la 

 seule variable x, mais la différence entre le nombre des équations et celui 

 des inconnues ne croît pas, comme on pouvait s'y atteuflre ; cettedifférence 

 reste toujours égale à l'unité, quel que soit le nombre des dérivées qu'on 

 introduit successivement comme inconnues auxiliaires. 



» Les résultats précédents établissent une différence essentielle entre les 

 équations auxdérivées partielles du premier ordre et celles des ordres supé- 

 rieurs. Pour les équations du premier ordre, le nombre des équations con- 

 tenant seulement les dérivés par rapport à x est toujours égal au nombre 

 des fonctions inconnues. Il n'en est plus de même pour les équations d'ordie 

 supérieur. Pour l'équation de Monge, par exemple, on n'a que trois rela- 

 tions pour déterminer z, p, q, j, considérées comme fonctions de x. Ou 

 sait tout le parti qu'on tire d'ailleurs de ces relations différenliellcs : toutes 

 les fois qu'elles offrent deiix combinaisons intégrables, on peut résoudre 



