H ■+- l 



n -\~ i 

 OJ I ■> 



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groupe de formules résolvant la question : 



(b) [Z(i + x)]"=yAi'"x"+' 



{a') r.-'ff. . ■jf{a:)dœ" -^Ar!/'- 



(b') [1{i-+-x)]-"=Sa^-''\v-"^'. 



» Dans ces formules, et clans celles qui suivent, le signe 1 porte sur la 

 lettre /, qui reçoit les valeurs entières, à partir de zéro y compris. Dans la 

 formule [a), x est un des arguments x,, +pw, A^"' est un coefficient nu- 

 mérique défini par l'équation [b). Dans la formule (rt'), les intégrales 

 s'étendent entre les deux arguments Xq et j?, et A[~"* est un coefficient nu- 

 mérique défini par l'équation (//). On voit qu'on passe des deux premières 

 formules aux deux autres, en changeant n en — n, et convenant de rem- 

 placer la dérivée n""""' par l'intégrale n""'"^. 



» Une conséquence immédiate de la formule {b') est la relation 



_ nAl""^" = {i - n) A;-"> + (f - « - I ) Alzl", 



qui permettra de calculer de proche en proche les coefficients numériques 



qui figurent dans les expressions des intégrales 2'"'"^, S'"'"", 



» Voici un second groupe de formules employées plus souvent; x est 

 encore un des arguments, et les limites des intégrales sont les mêmes que 

 précédemment : 



(c) ,"^==^Bi:"/''-'(x), 



(d) ' (arr.sin.r)'''^' ^V (- i)'2=' Bi;"-^"jt^"-^'+=', 



y/l — x' ^ 



(e) (arcsina?)^" ^S^" lY-x^'B^^^^x"""-^'', 



{d') ^ ' (arcsinx)-'"-' =y(- i)'2^'Bi-"'->x-=«-'+-', 



y' I — .v^ Aj 



(e') (arc sinx)-=" = Vl" i)'2-'B<-"".r-=''-^=', 



» On voit que la détermination de B'"' et B'j"' exige des formules diffé- 



