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 surface géométrique ne sera p.is allérée par une transformation biration- 

 iielle, c'esl-à-clire une transformation qui donne, poiu- chaque point de la 

 courbe ou de la surface donnée, un seul point de la courbe ou surface 

 transformée, et réciproquement. Un essai de démontrer, par la Géométrie 

 piu'e (2), ces deux théorèmes m'a conduit en même temps à une expres- 

 sion du nombre des points fondamentaux de deux surfaces qui se corres- 

 pondent delà façon indiquée, c'est-à-dire des points exceptionnels auxquels 

 correspondent, au lieu d'un seul point, tous les points d'une courbe. De 

 cette cause, je me permets d'exposer ici brièvement les principes de mes 

 recherches à cet égard. 



» 1. Courbes planes. — Supposons que les deux courbes [h,) et [b.,], 

 qui se correspondent point à point , soient dans un même plan. Désignons 

 par P, et P, deux points homologues de ces courbes, et par A, et A^ deux 

 points fixes du même plan. Alors, si nous désignons par n,, r,, fi,,..-, «2? ''21 

 p,,-- les ordres, les classes, les nombres des points de rebroussement des 

 deux courbes, on voit sans difficulté que le lieu des points d'intersection 

 des droites A, P,, et A2P2 sera une courbe (D) de l'ordre «, -+- n^, douée 

 d'un point /z^— tuple à A , et d'un point Ji, — tuple à A.,. A deux points con- 

 sécutifsde [b,) correspondent deux points consécutifs de (63) ; on verra donc 

 que les tangentes menées de A, à {b,), et les droites qui joignent A, aux 

 points de rebroussement de [b,) joueront l'un ou l'autre des deux mêmes 

 rôles par rapport à (D). On trouve donc, pour la somme de la classe et 

 du nombre des rebroussements de (D) l'expression suivante : 



n + Pi -*- 2«2, 

 ou bien, en appliquant les mêmes considérations au point A,, 



i\ 4- jSj 4- in,. 

 11 Par conséquent 



/', + j3, — 2/1, = l\ -t- P2 — ^Mo. 



Cetle équation est identique à celle de Riemann. 



» On sait que le même théorème peut être étendu à des courbes gauches. 



» 2, Surfaces. — Je suppose que les siu'faces, quej'appellerai (S|)et(Sn), 

 ne sont douées que de singularités ordinaires, c'est-à-dire celles qui exis- 

 tent en général, ou pour une surface donnée ou pour sa réciproque, et j'y 



(1) On a déjà une domonstration géoinélriqiie du ttiéorènjt' sur les courbes, due à 

 M. Crciiiona [Tcoria délie superficie). 



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