{ Ikk ) 



applique les uolalions de MM. Saliiion et Cayley (i). Je désigne encore 

 par s l'ordre, évidetnineiit commun, des courbes qui sur chacune des 

 deux siU'faces correspondent à des sections planes de l'autre, et par }\ , 

 ]S, ,..., et i\^, ]3, ,... le rrtH(/, le nombre des points de rebroussement, etc., 

 de celles de ces courbes qui sont sur (S,) et sur (S^), respectivement; enfin 

 par p., et [i..^ les nombres des points fondamentaux des deux surfaces. 



>> Soient maintenant P, et Po deux points correspondants des deux sur- 

 faces ; A,, A^ et B trois points fixes. Alors, la surface (T,), lieu des' points 

 d'inleisection de la droite A, P, et du plan AjBPj, sera de l'ordre s + a/,, 

 et douée d'iui point s — tu pie (2) à A,, et d'une droite n^ — tu pie à AjB, et la 

 surface (To), lieu des inlersections de k-^ Pj et de A, BPj, de l'ordre s -\- n.,^ 

 e( douée d'un point s — tuple à A.,, et d'iuie droite «, — Inple à A.B. 



» Si l'on regarde comme faisant partie d'un cône circonscrit à une sur- 

 face, celui qui a sa courbe cuspidale pour directrice, les deux surface (T,) 

 et (T2) que nous venons de construite, seront inscrites dans un même cône 

 au sommet B. Si nous en désignons la classe par N', celle d'un autre cône 

 circonscrit à (T,), mais dont le sommet est à un point quelconque C, sera 

 N' -t- .y; car au nombre des plans tangents menés de la droite CB à ce der- 

 nier cône, on doit compter les s plans coïncidents dont les points de con- 

 tact sont sur la droite multiple BAo. Or, on peut encore trouver une autre 

 expression de la classe de ce même cône, en comptant les plans tangents 

 menés de la droite CA, à la surface (T,). Ceux-ci seront : 



» 1" Deux fois les r^ -t- /3j plans qui sont tangents au point A, lui- 

 même; 



» 2" Les n\ + r, jjlans tangents à (S,) et à sa courbe cuspidale; 



» 3° Les plans qui conlieiment les n.,-\-s-\-iJL, droites de la surface (T,) 

 qui partent de A,. On voit sans difficulté que cliacim de ces plans n'a qu'un 

 seul contact (3). 



(i) Salmon, Geom. nf three Dimensions, p. 85o; Caylev, Phil. Transactions, yjtfw'xer, 

 i86(). — Les seules notations que j'einpiiinti*, pour le moment, ii ces savants sont : n pour 

 l'ordre d'une surface, n pour la classe d'une section |)lane, < |)our l'ordre, et /■ poui- la 

 classe de sa courbe cuspidale (courbe de rebroussement), et des lettres accentuées //, 

 a' (= a), . . . , pour les nombres des singularités réciproques. .le n'ai pas égard a toutes les 

 singularités énumérées par M. Caylev à l'endroit cité. Toutefois, je dois remarquer que mon 

 résultat ne sera pas altéré, si l'on attribue aux surfaces les singularités importantes y ety'. 



(2) Le cône langent à ce point sera de l'ordre s, de la classe i-,^, et il aura fi^^ arêtes de re- 

 broussement. 



(3) Quand même il y aurait des dioites multiples au nombre des pi, cpii joignent A, au.\ 

 points fondamentaux de (S,). 



