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ANALYSE. — Sur la théorie des équations aux dérivées partielles. Note 

 de M. G. Dakkoitx, présentée par M. J. Bertrand. 



IL 



« La remarque énoncée dans ma Communication précédente me paraît 

 conduire à une méthode plus générale que celles qui sont habituellement 

 employées. On peut, du lesle, présenter cette méthode sous un autre point 

 de vue, qui nous permettra d'obtenir plus facilement les systèmes à inté- 

 grer partiellement. 



» Supposons que l'un quelconque de nos systèmes conduise à deux com- 

 binaisons intégrables 



f[x,j, z, p, 7,...) = const., J\{jc\ f,z,p, </,...) = coust. 



» Les deux constantes qui figurent dans ces équations doivent être con- 

 sidérées comme des fonctions inconnues de jo- Éliminant jo, on est con- 

 duit à une équation 



y := fonction arbitraire de^, . 



» Cette dernière équation peut être, évidemment, considérée comme une 

 nouvelle équation différentielle compatible avec la proposée, et qui admet 

 en commun avec elle une intégrale avec une fonction arbitraire. Nous 

 sommes donc conduits à la solution de la question suivante, qui répond à 

 ce deuxième mode d'exposition. 



» Trouver une e'quation différentielle 



Y = a, 

 du n'^'"" ordre, admettant, en commun avec la proposée, une solution contenant 

 au moins une fonction arbitraire. 



» Pour cela, il suffit de remarquer que la proposée différentiée n — i fois 

 donne Ji équations contenant les « + 2 dérivées du ti + i'"""^ ordr^ . L'équa- 

 tion V = o dérivée par rapport à .r e\ a j donne deux équations conte- 

 nant aussi linéairement les 11 + 2 dérivées du n -|-i""'"« ordre. On a donc 

 n -\- 2 équations qui déterminent en général les dérivées du n -+- i'""'' ordre 

 si les deux équations différentielles dont on cherche la solution commune 

 sont prises arbitrairement. Mais ici cela ne doit pas être; sans cela les déri- 

 vées d'ordre supérieur à « + i seraient toutes déterminées eu fonction des 

 dérivées d'ordie inférieur, et la solution commune, si elle existait, ne pour- 

 rait contenir tout au |)lusque des constantes arbitraires. Il faut donc que ces 

 « -+- 2 équations du premier degré k n + 2 inconnues, qui sont les dérivées 



