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 d'ordre « + i, forment un système indéterminé, ce qui donne deux équa- 

 tions de condition. Comme deux des équations contiennent les dérivées 



de V, — 5 -r-» -T-' -r-'---' les relations de condition doivent être consi- 



d.r d} dz dp 



dérées comme deux équations aux dérivées partielles du premier ordre 

 auxquelles doit satisfaire la fonction ~V . 



» Ce qui précède explique et généralise la remarque par laquelle Bour 

 a établi qu'on peut toujours reconnaître si l'application des méthodes de 

 Monge et d'Ampère pourra réussir. 



» Les deux méthodes que nous venons d'indiquer se retrouvent d'ail- 

 leurs dans la théorie des équations aux dérivées partielles du premier 

 ordre. La première, fondée sur le changement des variables, est due, 

 comme on sait, à l'illustre Cauchy. La seconde a été introduite dans la 

 science et développée par Jacobi. C'est même en essayant de rapprocher 

 ces deux méthodes qui paraissent si différentes, que j'ai été amené à l'étude 

 dont je viens d'indiquer rapidement les principaux résultats. 



» La seconde méthode permet de se rendre compte simplement du 

 nombre des intégrations qui sont nécessaires pour la solution complète du 

 problème; mais il est indispensable qu'avant de traiter ce point, nous en- 

 trions dans quelques explications. 



» Soit une équation différentielle d'ordre n 



F('4-:. '■^r^%---) = o. 



dx"^ dx"- 



» Désignons par B„, R„_i, R„_2, ... les dérivées partielles prises par rap- 

 port aux dérivées d'ordre n seulement, ■j^.'' j^^^ — Nous appellerons 



équation caractéristique de l'équation différentielle l'équation suivante à une 



inconnue u : 



R„?i"+ R„_, «"-' +...= o. 



Par exemple, pour l'équation différentielle (i) considérée dans la Commu- 

 nication précédente, cette équation caractéristique serait 



R«--l-S!( + T= o. 



» Cette définition une fois comprise, il est facile de compléter le résultat 

 énoncé plus haut. 



» Pour que l'équation proposée 



