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 et l'équation différentielle V ^ « aient une solution commune avec une 

 fonction arbitraire, il faut d'abord que l'équation caractéristique de l'équa- 

 lion Y = o admette une des racines de l'équation caractéristique 



Rtt'+S«» + T= o. 



» On voit donc que les équations différentielles que nous cherchons 

 V = o se divisent en deux classes, suivant qu'elles appartiennent à l'une 

 ou à l'autre des racines de l'équation précédente. Pour la solution com- 

 plète du problème, il faut une équation de chaque classe, contenant elle- 

 même une fonction arbitraire. Un nombre quelconque d'équations diffé- 

 rentielles appartenant à la même classe ne peut donner l'intégrale complète 

 de notre équation. Mais il est facile de montrer que tous les résultats 

 partiels obtenus facditeront la solution finale du problème. L'admirable 

 Mémoire d'Ampère est le guide le plus sûr dans l'étude de ces difficiles 

 questions, et ce sont justement les intégrales qu'Ampère appelle intégrales 

 de fjremière espèce que foiu'uiront toujours les procédés que nous Aenons 

 d'indiquer. 



» En terminant cet exposé sommaire, j'indiquerai quelques questions 

 auxquelles j'ai appliqué la méthode précédente. 



M i" Il y a d'abord l'équation linéaire de Laplace. Les différents cas d'in- 

 tégrabilité indiqués par Laplace correspondent à nos systèmes successifs 

 d'équations. 



» 1° L'équation 



s = e** 



a été considérée par M. Liouville et intégrée par lui, sous la forme 

 ^ = ± kl, obtenue en posant X = e.'''. 



» Les équations de Monge n'offrent pas de combinaison intégrable, mais 

 le second système donne la solution trouvée par M. Liouville. 



» 3° Considérons l'équation, donnée par Rom, des surfaces applicables 

 sur la suiface, dont \e ds' a poui- expression 



ds'^ = [^Idx dy, 

 » Si nous cherchons les conditions les plus simples d;uis lesquelles la 



