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 méthode précédente puisse réussir, nous trouvons qu'en posant 



il - 1 U — 1 C , . ■ — ) 



a.T dy dx dy 



toutes les fois que X satisfera à l'équation différentielle 



on pourra trouver une série de surfaces applicables sur la proposée, et 

 contenant dans leur équation une fonction arbitraire. 



» Je me réserve de revenir, dans une étude détaillée, sur l'interprétation 

 géométrique de cette condition et sur quelques autres exemples auxquels 

 s'appliquent les méthodes précédemment indiquées. » 



ANALYSE. — Sur un mode d' approximation des fondions de plusieurs 

 variables. Note de 31. Dibon, présentée par M. Hermile. 



« Si l'on cherche, parmi tous les polynômes 'p{x) de degré /ji., celui qui, 

 entre les limites — i et + i de la variable, s'approche le plus d'une fonc- 

 tion donnéey(a?), en d'autres termes, celui qui rend minimum l'intégrale 



/ iJi-'^) ~f{^)]'(^JC, on trouve que ce polynôme est représenté par la 



partie du développement de /(a^) suivant les fonctions X„ de Legendre, qui 

 s'arrête au terme en X^ inclusivement. 



» Je me suis proposé de traiter la question analogue relative à un nombre 

 quelconque de variables, c'est-à-dire, de trouver le polynôme a {jr,j,z,...,u) 

 de degré ^x, qui rend minimum l'intégrale 



///■ ■ • UX-'^O'' ^,- ■•,«) — ? (j^-,.r, z, .... h) J - i-fjc dj dz. . . du, 

 dans laquelle les variables sont limitées par la condition 



.r- + J-- + z- + . . . 4- /<2 < I , 



et je suis parvenu à la solution du problème. 



» Je ne la développerai que pour le cas de deux variables. 

 » La fonction 



P™„ = K 



m , n 



d-if'-l)"*"^^ d-{x^-^y^-lY 



K-m.n y désignant une constante, est un polynôme du degré m -\- n. 



c. R., 1870, I" SemeHie. (T. LXX, Wo J4.j Qg 



