f 75o ) 

 » En iloniKHit à m et à n toutes les valeurs entières et positives possibles, 

 on ohliendra une série indéfinie de polynômes qui satisferont à la relation 



si l'on n'a pas en même temps ni = m', n = n' . 



» La forme analytique précédente de ?„,„ permet de démontrer tiés- 

 facilemenl cette égalité. En prenant pour R,„,„ 



1.2. . . /« . I . 2 . . . « . 2-"""'"-'" 



on trouvera, pour la fonction génératrice des polynômes P,„,„j c'est-à-dire 

 pour V y a'"è"Pm,„, l'expression simple 



I - 2hj+P) i-ax- hy =- ' 



^ -^ L 2(1 — ft)+Vi — 2i>_r + 6=jJ 



et pour la valeur de Vintégrale ff{P,„„Ydxdj, 



271- [2 m -^ /; + 2) (2/» H- « + 3). ■ .(2m + 7n + i) 1.3.5. . .(2W + 2W+ 1) 

 2w 4- I 1.2.3. . .«.2""+=" 2.4.6. . .(2m +2« + 2) 



)) C'est par l'élude des fonctions U et V de M. Hermite que j'ai été con- 

 duit à ces polynômes P,„.„. 



» Les propriétés précédentes permettront d'effectuer le développement 

 d'une fonction quelconque f{x,)') de deux variables, en une série ordon- 

 née suivant les polynômes P,„,„. 



» Si l'on pose, en effet, 



J ["^^ 7 ] ^~^ ^"-m.n "m, m 



on déterminera Am,„ en multipliant les deux membres de l'égalité précé- 

 dente par V,„,„dxdx, et eu les intégrant dans l'ultérieur du cercle 

 x'^ -hj^ = I . On obtiendra ainsi 



c'est-à-dire 



_ 2W-HI I -a- • .'».2'"'+"' 



A„, „ — 



27r (2W +/*-)- 2). . .(2/« + 2« -t- l) 



^ I.375...(2,« + 2«-M)-^-^^^'^'-^J''"'" -^ 



,) Je reviens maintenant à la question énoncée au commencement de 



