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» La question acquiert par là une certaine précision, mais la difficulté 

 fie découvrir toutes les expressions susceptibles d'augmenter en nombre 

 par la différentiation subsiste tout entière. 



» En ne considérant que les fonctions arbitraires proprement diles, dé- 

 gagées de tout signe d'intégration, et ce qu'il appelle les intégrales partielles, 

 contenant des fonctions arbitraires, cette dénomination étant prise dans un 

 sens analogue à celui qu'on douiie au mot dérivées partielles, Ampère né- 

 glige une classe illimitée d'arbitraires susceptibles d'être définies par voie 

 de récurrence, au moyen d'arbitraires d'espèce inférieure. Que l'on con- 

 çoive, en effet, une équation différentielle renfermant explicitement des 

 arbitraires d'une certaine espèce, et qui puisse être considérée comme d'un 

 moindre degré de complication que les équations mêmes qu'on se propose 

 d'intégrer, soit parce qu'il n'y entre pas de dérivées d'un ordre aussi élevé, 

 soit parce que les dérivées qui y entrent ne portent pas sur im aussi grand 

 nombre de variables indépendantes, la fonction définie par une pareille 

 équation constituera généralement une nouvelle espèce d'arbitraire dont 

 l'introduction pourra permettre l'intégration des équations plus com- 

 plexes. 



1) Rien n'indique que dans cette voie il y ait de terme où l'on puisse 

 s'arrêter. Néanmoins la question, telle qu'elle est posée dans le Mémoire 

 de i8i4, reste encore bien étendue, et ce n'est pas à cause de son défaut 

 de généralité que la tentative d'Ampère n'a pas jusqu'ici produit, au point 

 de vue purement analytique, les grands résultats que son incontestable va- 

 leur philosophique permet d'en espérer (i). Il semble, au contraire, que, 

 dans l'état présent de l'analyse, il y ait encore avantage à diviser le pro- 

 blème et à compléter la monographie des cas les plus élémentaires. Les 

 résultats les plus particuliers, lorsqu'ils ont acquis un degré suffisant de 

 netteté, deviennent quelquefois l'origine de conceptions vraiment fécondes, 

 et les efforts des plus modestes travailleurs peuvent ainsi faciliter, dans une 

 certaine mesure, l'œuvre de ceux auxquels est réservée la construction des 

 théories générales. 



» Dans cette pensée, j'ai entrepris l'étude minutieuse de la forme la plus 

 élémentaire dont soit susceptible l'intégrale générale des équations aux dé- 

 rivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes, à savoir : 



(i) Depuis (|iie ces lignes ont été écrites, M. Darboiix a publié, iJans les Cnmples rendus, 

 deux Notes sur une extension de la mctiiode de Monge, qui paraît constituer un progrès 

 considérable dans la voie ouverte par Ampère. 



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