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 celle qui consiste en nne relation unique entre les trois variables, deux 

 fonctions arbitraires de quantités distinctes formées explicitement avec les 

 trois variables, et les dérivées en nombre limité de ces fonctions arbitraires, 

 les arbitraires n'entrant d'ailleurs sous aucun signe d'intégration. En écar- 

 tant ainsi non-seulement les arbitraires qui dépendent d'intégrations par- 

 tielles préalables, mais encore les fonctions arbitraires qu'Ampère nomme 

 implicites^ et qui sont composées de quantités dont la valeur en a, j', z 

 varie avec la forme qu'on donne à ces fonctions arbitraires, on restreint le 

 problème plus encore qu'on ne s'y attend au premier abord. 



» On peut démontrer, en effet, et c'est là l'objet de la première partie de 

 ce Mémoire, que les seules équations aux dérivées partielles du second 

 ordre et à deux variables indépendantes, susceptibles d'admettre une inté- 

 grale générale de cette espèce élémentaire et qui ne sont réductibles, par un 

 changement de variables, ni aux équations linéaires deLaplace, ni à l'équa- 

 tion de M. Liouville- — - = e~, sont toutes, en exceptant deux cas particu- 

 lièrement simples, réductibles à la forme 



du dv du ^ ' dv 



où A et B sont des fonctions des seules variables indépendantes, assujetties 

 elles-mêmes à vérifier certaines conditions. 



» De plus, l'intégration de cette équation est ramenée à dépendre uni- 

 quement de celle d'une équation linéaire de la forme considérée par 

 Laplace, à savoir : 



f/'a dl K da. . _ 



ABa. 



du dv ilf du 



« Malgré le caractère restreint de ce premier résultat, j'espère qu'il ne 

 sera pas sans intérêt pour les géomètres, parce qu'il permet de reconnaître 

 en quelque sorte, à première vue, si une équation donnée admet ou non 

 une intégrale générale de la forme élémentaire, et de calculer cette intégrale 

 lorsqu'elle existe. Mais le problème n'est pas borné à l'établissement des 

 conditions auxquelles doit satisfaire l'équation différentielle; ces conditions 

 étant exprimées par des équations aux dérivées j)artielles d'un ordre d'au- 

 tant plus élevé qu'on admet un plus grand nombre de dérivées des fonc- 

 tions arbitraires dans l'équation générale, on est naturellement amené à 

 chercher un moyen de former les équations méines qui satisfont à ces con- 

 ditions. Par cela seul que l'intégration de l'équation la plus générale 



•" • d d 



du dv du ^ ' dv 



