(837 ) 

 dépend uniquement de celle de l'équation 



d'à dl\ dx 



—, — ; ABa 



du fin du du 



la question sera résolue complètement lorsqu'elle le sera pour les équa- 

 tions de Laplace. Je crois avoir atteint ce but, en montrant dans la seconde 

 partie de ce Mémoire, comment on peut construire l'équation linéaire la 

 plus générale, susceptible d'être intégrée entièrement, sous forme finie, 

 avec deux fonctions arbitraires et leurs dérivées en nombre déterminé 

 m el n. 



» Parmi les équations linéaires, celles qui sont réductibles à la forme 



dH 



du dv 



= A.{u,v).z 



ont iu]e importance particulière, à cause du rôle qu'elles jouent dans de 

 nombreuses recherches géométriques. Le problème qui a pour objet de 

 construire une pareille équation, par la condition qu'elle admette une inté- 

 grale générale renfermant n dérivées des fonctions arbitraires, n'est pas un 

 cas particulier du problème plus général dont il vient d'être parlé, et la 

 solution dépend alors d'iuie seule équation aux dérivées partielles d'ordre 

 2n, qui se réduit à l'équation de M. Liouville pour n := i . Je suis 

 parvenu à obtenir, par voie de récurrence, l'intégrale générale de cette 

 équation, en mettant à profit une remarque rencontrée dans le problème 

 de géométrie suivant : 



» Transformer une surface de manière que les éléments linéaires correspon- 

 dants de la surface donnée et de la surface transformée soient diriqés à anale 

 droit. ' , 



a Je me réserve de faire de ce problème, intimement lié à la théorie de 

 la déformation des surfaces et à la théorie des lignes asymptotiques, l'objet 

 d'une étude spéciale; mais la partie analytique de cette étude se confond 

 entièrement avec celle de l'équation 



d^. = ^'^ 



et rentre ainsi dans le cadre du présent travail, dont elle constitue la troi- 

 sième partie. 



» En examinant la méthode qui conduit à ces résultats, on est naturel- 

 lement amené à rechercher dans quelle mesure elle peut s'appliquer à 

 l'étude desintégrales d'une forme moins élémentaire. Lorsque, par exemple, 

 l'intégrale ne renferme, sous forme finie, que l'une des deux fonctions ar- 



