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» Ces formes remarquables de l'équation d'une surface du q'eialrième 

 ordre laissent apercevoir facilement les particularités qu'elle présente et 

 permettent de les rattacher à celles qui leur correspondent sur les deux 

 faisceaux de cjuadriques (i). 



» Ainsi, puisque la base de chacun des faisceaux appartient à la surface 

 résultante, si cette base se compose de deux courbes planes, ou d'une 

 courbe plane double, ou de deux courbes planes dont l'une est à l'infini, 

 la sinface du quatrième degré sera doublement tangente à toutes les qua- 

 driques du faisceau, ou les touchera suivant une courbe plane, ou bien 

 aura une conique à l'infini, etc. 



» On remarque sans peine le double mode de génération de la surface 

 du quatrième ordre par des courbes gauches de systèmes différents. En 

 général, deux génératrices de même système n'appartiennent pas à une 

 même surface du second degré; le contraire a lieu pour deux systèmes dif- 

 férents. 



» Voici l'indication rapide de quelques-uns des résultats obtenus en 

 faisant diverses hypothèses sur les fondions U et V. 



» I. Si les deux faisceaux ont chacun pour base un système de deux 

 courbes planes, la surface résultante est doublement tangente à toutes les 

 quadriques qui les composent. 



» Remarque. — Si les deux faisceaux sont composés de surfaces réglées 

 (et on peut toujours le supposer par la considération des plans et droites 

 imaginaires), la surface résultante est le lieu des points tels, qu'il y a un 

 rapport constant entre les produits respectifs des distances de ces points 

 aux quatre faces de deux tétraèdres. 



» II. Si les bases des deux faisceaux sont des coniques doubles, la sur- 

 face résultante touche toutes les quadriques des deux faisceaux en tous les 

 points de leurs bases respectives. 



» III. Si les deux faisceaux sont composés de quadriques homothéti- 

 ques à une même surface, les intersections des surfaces correspondantes 

 des deux faisceaux sont des coniques. 



» II y a alors deux cas à distinguer : 



» 1° Si les plans des coniques d'intersection tournent autour d'une ligne 

 droite, la surface résultante est du troisième ordre; 



» 2° Si les plans de ces coniques enveloppent un cône ou un cylindre 



(i) Nom donné par M. Cayley aux sui faces de second ordre et analogue à relui de co/iirjues 

 donné aux courbes de même ordre. 



