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 w V. Rectification de la roulette. — La différentielle de l'ai'C de la rouletle 

 s'exprime immédiatement sous ruiie on l'antre des deux formes suivantes : 



I r/(7'=/-'-sin==(P, r')rfÛ, 



(4) dG^" = /•" [{de ±: (U'Ysm-{n, ;•') -t- (^.^ ± dr^'f s\n'{t, /•') 

 ( — ■i[di±di'){df^ ± d<jy')co%{n, r') cos(<, /■')]. 



» De ces expressions, on déduit les théorèmes suivants : 



« 1° Si l'on fait rouler successivement, d'après le mode indiqué, une 

 » courbe C sur deux courbes C et C, ; et que ces deux courbes soient telles 

 » (ce qui est toujours possible) qu'en chaque point de leur contact avec la 

 » courbe C leurs angles de contingence et de flexion soient avec les angles 

 » de contingence et de flexion de la courbe C dans des rap|)orls constanis 

 » m et //2,, m étant relatif à la courbe C, 1n^ à la courbe C, ; les arcs des 

 » roulettes engendrées par un point A' invariablement lié avec la courbe C 

 » pendant le roulement de la même portion d'arc de C sur les courbes C 

 » et C, seront entre eux dans les rapports de m ± \ i\ m, ± i . » 



» Si la courbe C, est une droite et la courbe C, égale à la courbe C, 

 mais symétriquement placée, on aina le théorème suivant : 



« 2° Si deux courbes C et C sont égales, mais syniélricjuemcnt placées 

 » panrapportà une tangente commune, et qu'on fasse rouler successivement 

 » la courbe C sur la courbe C et sur la tangente, d'après le mode indi- 

 » que, les arcs des roulettes engendrées par nu point A' invariablement 

 » lié avec la courbe C pendant le roulement de la même portion d'arc de C 

 » sur C et sur la tangente, seront dans le rapport de 2 à i . » 



» On déduit aussi des expressions (4) les deux théorèmes suivants : 



<c 3° On fait rouler, d'après le mode indiqué, une portion d'arc de 

 » courbe C sur une combe C, et ces deux coiuijes sont telles qu'en chaque 

 » point cie contact les angles de contingence et de flexion sont dans une 

 » raison constante m, l'arc de roulette engendré par un point A' invaria- 

 » blement lié avec la combe C est égal à l'arc de courbe, lieu des extré- 

 » mités des droites menées du point A' perpendicidairement aux plans rec- 

 » tifiauts aux divers |)oints de la même portion de coiu-be C supposée i]xe : 

 » ces droites étant dans le rapport constant i ± ni avec les distances corres- 

 11 pondantes du point A' aux plans rectifiants. » 



« 4" O'i f^'t rouler une poition d'arc de courbe C sur une coiu'be C 

 » égali', mais symétriquenienl placée par rapport à la tangente comnuine, 

 )i de telle sorte que leurs plans osculateiu's coïncident; l'arc de roulette 



