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 rappelée ci-dessus ne peut donner les thalwegs et les faîtes dont la projec- 

 tion horizontale est une ligne courbe. 



» Soit z=^f{x,j) l'équation de la surface, rapportée à trois axes ox, 

 or, oz perpendiculaires entre eux, les deux premiers étant supposés 

 horizontaux, ce qui exige que le troisième soit vertical. On tire de cette 

 équation les suivantes : 



dz = pdx -\- qd}', dp = rdx -+• sdy, dq = sdx + tdy, 

 dans lesquelles 



__dz _dz ■ __d''z _ d'z _ dH _ d'z 



" dx ' dy dx^ djr.dy dydx dy^ 



» Dans ce qui va suivre, nous négligerons la courbure des surfaces de 

 niveau, ainsi qu'on le fait ordinairement dans les questions de cette nature. 

 Cela revient à supposer que toutes ces surfaces sont des plans horizontaux, 

 et que toutes les ordonnées z sont verticales. 



» Ces conventions étant admises, on a, pour les lignes de niveau de la 

 surface, l'équation différentielle r/z = o, ou 



pdx + qdy = o. 



» La déclivité de la surface, en un point quelconque /«, est mesurée par 

 l'angle que la normale fait avec la verticale. On sait que l'inverse du cosi- 

 nus de cet angle, ou sa sécante, est sji + p'^ + q'^. Le minimum de cette 

 déclivité a lieu, par conséquent, lorsque la différentielle de cette expression 

 se réduit à zéro, c'est-à-dire lorsqu'on a 



pdp -h qdq = o, 



dx et dy étant assujettis à la condition ci-dessus. On est ainsi conduit à la 

 relation, déjà connue d'ailleurs, 



pq{r- t) -(/)^ -q-)s = o. 



» Comme p, q, r, s, t sont des fonctions de x et de j', cette relation fait 

 connaître la projection horizontale du lieu des points à déclivité minimum 

 ou maximum qui se trouvent sur toutes les lignes de niveau de la surface. 



» Il nous reste à déterminer dans quelles circonstances ce lieu peut être 

 une ligne de plus grande pente. Pour cela, il faut différentier son équation, 

 en assujettissant, cette fois, dx et dj à la condition 



pdj — qdx = o. 



