( I025 ) 



GÉOMÉTRIE. — Quelques résultais obtenus par la considération du déplacement 

 infiniment petit d une surface algébrique. Note de M. A. Manniieim, pré- 

 sentée par M. Chasles. 



« Steiner, dans un Mémoire sur les courbes et les surfaces algébriques [i), 

 dont la traduction a été insérée dans le Journal de Mathématiques de 

 M. Liouuille (2), a cherché le nombre des normales qu'on peut abaisser 

 d'un point sin* luie courbe algébrique ou sur une surface algébrique. Pour 

 une courbe de degré m, il arrive de trois manières à montrer que d'un 

 point on peut mener à cette courbe m^ normales. Son premier procédé 

 consiste à déplacer infiniment peu la courbe autour du point donné : les m' 

 points d'intersection de la coiu'be considérée dans sa première position et 

 dans sa position infiniment voisine sont les pieds des normales cherchées. 



» Steiner n'a pas étendu ce procédé au cas de l'espace. M. August a fait 

 connaître cette généralisation (3), il considère pour cela deux déplacements 

 infiniment petits autour de deux droites quelconques issues du point d'où 

 l'on veut mener les normales. 



» Je me propose de montrer comment, dans l'espace, l'emploi de dépla- 

 cements infiniment petits conduit, non-seulement au nombre de normales 

 qu'on peut abaisser d'un point snr une surface algébrique, mais encore à 

 quelques autres résultats nouveaux. 



» Si l'on donne à une surface de degré m un déplacement infiniment 

 petit autour d'une droite quelconque, on obtiendra une courbe gauche de 

 degré nr résultant de l'intersection de la surface considérée dans deux po- 

 sitions infiniment voisines. Cette courbe, en enqilnyant l'expression de 

 Monge, est la caractéristique de la surface enveloppe de la surface mobile. 

 Ces deux surfaces, l'enveloppe et l'enveloppée, se louchent suivant cette 

 caractéristique. I.es iiorinnles à ces surfaces issues de tous les points de 

 cette ligne rencontrent l'axe de rotation. On peut donc dire que cette ca- 

 ractéristicpie est le lieu des pieds des normales abaissées de tons les points 

 de l'axe de rotation sur la surface donnée. On a alors ce théorème : 



» Les pieds des normales abaissées de tous les points d'une droite sur une 

 surjace de deijré m appartiennent à une courbe de degré m^ . 



(1) Journal de Crelle, XLIX" cahier. 



(2) Première série, t. XX, p. 36. 



(3) Journal de Crelle, LXVIII' cahier, p. 242. 



