( I036 ) 



» M. Chasles avait montré (i) par une voie tonte différente que les pieds 

 des normales abaissées de tons les points d'nne droite sm' une surface du 

 second degré appartiennent à une courbe du quatrième ordre. 



» Le théorème auquel nous venons d'arriver donne inunédiatement la 

 solution de cette question : 



» Quel est le degré de la surface enveloppe d'une surface de degré ni qui 

 tourne autour d'une droite? 



» Pour déterminer ce degré, menons un plan perpendiculaire à l'axe de 

 rotation. Ce plan coupera la caractéristique de l'enveloppe en m^ points. 

 Ces points, amenés dans lui même plan méridien an moyen de rotations 

 autour de l'axe, se trouvent alors sur une perpendiculaire à cet axe et ap- 

 partiennent à la courbe méridienne de l'enveloppe. Cette courbe méri- 

 dienne est donc d'un degré marqué par nr. Comme on a deux fois cette 

 courbe dans le plan méridien, la surface enveloppe est d'un degré marqué 

 par 2ni^. 



» Revenons maintenant aux normales à une surface de degré m abaissées 

 de tous les points d'une droite, et cherchons combien parmi ces droites 

 il y en a qui rencontrent une deuxième droite donnée. 



» Faisons tourner la figure autour de cette deuxième droite; après un 

 déplacement infiniment petit, elle coupera la caractéristique dont j'ai parlé 

 précédemment en m^ points; donc : 



» On peut abaisser j sur une surface de degré m, ni' normales cjui rencon- 

 trent deux droites données (2). 



» Dans mon Mémoire sur le déplacement d''une fiqure de forme inva- 

 riable (3), j'ai fait voir que tous les déplacements infiniment petits d'une 

 pareille figure assujettie à quatre conditions pouvaient être obtenus au 

 moyen de deux rotations simultanées autour de deux axes. Pour a\oir les 

 points où une surface de la figure mobile touche le lieu de ses intersections 

 successives, j'ai montré qu'il suffit de chercher les pieds des normales à 

 à cette surfice qui rencontrent ces deux axes. D'après le théorème précé- 

 dent, ces points de contact pour une surface de degré m que l'on déplace 

 sont an nombre de m^. 



(l) Mémoire sur les surfaces engendrées par une ligne droite [Correspondance de Que- 

 telct, t. XI). 



{2) M. Chasles avait déjà donné le théorème suivant : Étant données deux droites dans 

 l'espace et une surface du second degré, il y a généralement huit normales à ta surface qui 

 s\ippuient sur les deux droites (loc. cit.). 



(3) Mémoires des Savants étrangers, t. XX. 



