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» Nous avons consiiléré tout à l'iienre la courbe lieu des pieds des uor- 

 HKiles abaisbées de tous les points d une di-oite sur une surface de dej^ré /h; 

 cherchons le degré de la surface à laquelle appartiennent ces normales. Je 

 dis que : 



» Les normales abaissées de tous les jjoinls d'une droite sur une surface de 

 degré m forment une surface de degré m^. 



» Car, d'après ce que nous venons de voir, une droite rencontrera cette 

 surface en m" points. 



» Cette surface lieu de normales est ce que j'ai appelé une nornialie ( i ). 



» Cherchons quel est le degré de la normalie à une surface de degré m dont 

 la directrice est la courbe d'intersection de cette surface et d'une surface de 

 degré p. 



» Employons le même procédé : cherchons en combien de points une 

 droite rencontrera cette surface ou, ce qui revient au même, combien il y a 

 de génératrices de celte normalie qui rencontrent une droite. 



» Pour cela, faisons tourner la surface de degré m autour de cette droite 

 prise comme axe de rotation. Après un déplacement infiniment petit, cette 

 surface coupera la directrice de la normalie de degré mp en m^p points. Le 

 degré cherché est donc nrp. Si p = i, c'est-à-dire si la directrice de la 

 normalie est une ligne plane, cette surface est du degré m-. Le plan de la 

 directrice de cette normalie coupe cette surface suivant une ligne de de- 

 gré m". Cette intersection se compose de la directrice qui est une courbe du 

 degré m et de normales dont le nombre est alors m" — m. 



» Nous voyons donc que : 



» Lorsqu'on coupe une surface de degré ni par un plan arbitraire, ce jilan 

 contient m [m — i) normales de la surface. 



» En rapprochant ce théorème de celui qui donne le nombre des nor- 

 males à une surface qui rencontrent deux droites, on a immédiatement le 

 nombre des normales qu'on peut mener d'un point à une surface algé- 

 brique. 



» En effet, par le point donné menons deux droites quelconques. Nous 

 avons m' normales qui rencontrent ces deux droites : ces normales sont 

 celles qui passent par le point de rencontre de ces droites et celles qui sont 

 simplement dans leur plan. Ces dernières, d'après ce que nous venons de 

 dire, sont au nombre de ni[m — i); donc: 



(i ) Loc. cit. 



