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» c'est en supposant connue une racine de cette é((Malion, et cherchant 

 comment les antres se distribuent relativement à cello-là, que M. Cl»bsch 

 a été mis sur la voie de celte identité, qii'il a démontrée ensuite a priori. 

 Ce procédé ingénieux paraît devoir s'a]ipHf|iipr avec non moins de succès 

 à l'étude d'autres équations^ qu'on poiurait tenter do comparer à celles de 

 la division des fonctions hyperelliptiques. Les résultats suivants potu-ront 

 faciliter ces rapprochements. 



» On sait que la division des périodes par un nombre premier impair p 



dans les fonctions à 2« périodes dépend d'une équation X„ de degré ; 



et qu'en caractérisant les racines de cette équation par les rapports de 2n 

 indices jc,, j*,,..., j:',,' Jn variables de o à p — i, sans êlre nuls à la fois, 

 son groupe sera formé des substitutions de la forme 



■î^d J'i «',•''' + '"'iJi + "'7-^^ -+-'''2/' 4-. .., b\x,+ cl\ y, -h b\_.r. -+- d[ j>-j + . . . 

 -fi, /i ""■'•. + <■",/, + a"..r, + c",jr, 4- . . , h'\.r, -t- d" y , -h b",.r, -h d'[ jj -f- . . . 



où les coefficients (ou plutôt leurs rapports) satisfont aux équations de 

 condition 



j M<^\A - K(^l) ^ '"' -v(«. - ^';c;,) = o (niod. p), 



I ^,,{nih;. — b;ni.) = o, x,(c;r/;;, — tl;c;.)^ o, 



m étant un entier constant pour une même substitution. 



» Supposons connue l'une des racines de X„, par exemple 1000 Cette 



adjonction réduira le groupe de X„ à celles de ses substitutions qui ne dé- 

 placent pas cette racine, lesquelles seront de la forme 



.r, , j, a\ .r, ■+- c\ )•, + a^x, -+- c, )'; + . . . , d\y, 



■r-i, y-, c\ y, -+- fi]-r, ■+- c", y, + . . . , d" y, + b\.v, -+■ d" y, -+- . . . 



M Groupons les racines restantes en systèmes, en réunissant ensemble les 

 p racines qui ne diffèrent que par la valeur de.r,, et partageons ces sys- 

 tèmes en deux classes, suivant que j", y est ^o (mod. p) ou congru à zéro. 

 La première classe contiendra p^"~^ systèmes, corres|)ondanls aux divers 



systèmes de valeurs qu'on peut assigner aux rapports — % —,•••: la seconde 

 en contiendra ~ j correspondants aux divers systèmes de valeurs des 



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