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 rapports des entiers x^, j^j,..., qui ne sont pas nuls simultanément. Ces 

 systèmes de seconde classe pourront être caractérisés par le symbole 



» Cela posé, il est clair : i" que chacune des substitutions de H remplace 

 les racines de chaque système par celles d'un autre système de la même 

 classe; 2° qu en particulier elle remplace le système [x^j^,...) par le sys- 

 tème [d'^x., + c.^y^ +..., b\x^ -+- d\j^ •+-•..,•••)• ^^1 pour que 'es substi- 

 tutions H satisfassent aux équations (1), il faut que a'^, c\^ b\, d\^... (ou 

 plutôt leurs rapports) satisfassent aux équations analogues qu'on obtien- 

 drait s'il n'y avait que 2n — 2 indices. La détermination des systèmes 

 {x^}'.^...) dépend donc d'une équation X„_, analogue à celle qui donne la 

 division des fonctions k 211 — 2 périodes. Cette équation étant supposée 

 résolue, le groupe de X„ se trouvera réduit à celles de ses substitutions qui 

 sont de la forme 



a',,>-, a^x, + c\j, +d^x^ + c\r.^-\- ... , d\r,, 



et il est clair qu'en résolvant luie équation abélienne de degré p — i, puis 

 in — I équations abéliennes de degré p, on le réduira successivement à 

 celles de ses substitutions qui n'allèrent pasj,, puis à celles qui n'al- 

 tèrent ni y^ ni x^, etc., puis à celles qui n'altèrent que j",, lesquelles 

 remplaceront x, par jt, + c, j",, en vertu des relations (i), et entin à la 

 seule substitution i . On aura donc le résultat suivant : 



» Si l'on coiinalssnil Cuiie des racines de réqualion \„ de la p section des 

 fonctions à 111 périodes, on obtiendrait les autres en résolvant: ï" une équa- 

 tion X„_, analogue à celte de la p section des fonctions à -m — 2 périodes; 

 2° une équation abélienne de degré p — ï; 3* 2/1 — 1 équations abéliennes de 

 degré p. 



» Supposons qu'au lieu de la racine 1000... on sadjoigtiît une autre 

 racine appartenant à ini système de première classe, telle que 0100. .. . 

 Les p — I racines restantes dans ce système, jointes à 1000. . ., (ornient, 

 relativement à 0100..., un système de première classe. Considérons un 

 autre système quelconque relatif à 1000..., par exemple celui qui est 

 formé des racines ,r, /B, «2^2 ■ • •• Ses p racines, considérées relativement 

 à 1000 . . . , appartiendront à autant de systèmes distincts, dont un seul (ce- 

 lui qui contient la racine o^, «Zj/S, . . . ) sera de seconde classe. 



>) Supposons au contraire que l'on s'adjoigne une racine appartenant à 



