( io32 ) 

 conslanf. Une fonction des racines deX„, invariable par les snbstitutio ns 

 de ce groupe, dépendra d'une équation dont le degré D sera égal à 



M Si l'on prend pourL le groupe linéaire le plus général du degré p", 



onauraO = (/>"-i)...(^" — />"-'), d'où D= (//' + !)(/>"-' -4- i) . . .(/j + i). 



» Soit en particulier ii = 2, Dsera égal à » d'où ce résultat remar- 

 quable : 



» L'équation de ta p section des périodes dans les fonctions à quatre périodes 



p* I 



a deux réduites essentiellement distinctes et du même degré 



P- > 

 » (Dans le cas de la trisection, la seconde réduite que nous venons de 



trouver n'est autre que l'équation du l[o""" degré qui donne les termes de 



Irièdres conjugués de Steiner.) 



» Existe-t-il en général, comme dans le cas de la trisection des fonc- 



tions à quatre périodes, des réduites d'un degré inférieur à ? La né- 

 gation n'est guère douteuse; mais elle semble difficile à établir d'une mn- 

 iiière générale. Le seul résultat dont nous possédions la démonstration est 

 le suivant : 



» L'équation du degré y — — > d'où dépend la quintisection des fondions à 



quatre périoiles, n est susceptible d'aucun abaissement de degré. 



» Cette démonstration s'effectue par les mêmes procédés que nous avons 

 appliqués à l'équation aux 27 droites dt's surfaces du troisième ordre dans le 

 Journal de M. Liouville et dans notre Traité des Substitutions. Mais ici le de- 

 gré de l'équation étant plus élevé, on a plus de cas à examiner, et la dis- 

 cussion devient très-prolixe. » 



GÉOMÉTRIE. — Note sur l'existence de nouvelles classes renfermant chacune 

 un nombre illimité de courbes algébriques planes, dont les arcs offrent une 

 représentation exacte de la fonction elliptique de première espèce; par 

 M. Allégret. 



« M. J.-A. Serreta fait connaître, le premier, une classe decourbes planes 

 dont les arcs expriment la fonction F (y, c) de Legendre. Ces courbes sont 

 définies par l'équation différentielle 



(i) (Is z^ \Jm^— i 



i -h 7.mr' — r* 



