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» L'étude générale des systèmes de rayons rectilignes a été reprise ana- 

 lytiqiiement par Kumnier dans un beau Mémoire qui a paru en 1860 

 {Journal de Crette, t. LVII). 



» Ce Mémoire renferme certaines propriélés trouvées par Hamilton, et 

 d'autres que ce géomètre n'avait pas remarquées. Eu terminant, M. Kum- 

 mer s'attache à montrer la relation intime qui existe entre l'étude des sys- 

 tèmes de rayons et la théorie de la courbure des surfaces. 



» Dans le présent Mémoire, j'étudierai les pinceaux de droites d'une 

 façon toute géométrique. 



» Non-seulement les propriétés des pinceaux sont intéressantes en elles- 

 mêmes, mais il est utile de connaître ces propriétés pour pouvoir employer 

 les pinceaux comme élément dans les démonstrations, ainsi que j'aurai 

 l'occasion de le faire plus tard. Actuellement, j'étudierai les pinceaux en 

 eux-mêmes. Pour cela, j'introduirai les surfaces gauches formées respective- 

 ment par une droite du pinceau et chacune des droites infiniment voisines. 



» Ces surfaces, que j'appelle élémentaires, seront représentées par de 

 simples lignes droites : droites auxiliaires. C'est en 1864 que j'ai présenté à 

 la Société Philomathique la construction de la droite auxiliaire d'une sur- 

 face réglée et l'emploi d'une ou plusieurs droites auxiliaires pour la dé- 

 monstration de quelques propriétés de ces surfaces. 



» Dans le troisième volume de son Traité de Géométrie descriptive, M. de 

 la Gournerie a exposé, en les étendant, les résultats que j'avais communi- 

 qués sur ce sujet à la Société Philomathique. Malgré l'introduction de la 

 droite auxiliaire dans un ouvrage didactique, je crois utile de commencer 

 ce Mémoire en rappelant ce qui est relatif à cette droite. 



» Je considère ensuite les surfaces élémentaires d'un pinceau représen- 

 tées par leurs droites auxiliaires. Toutes les propriétés d'un pinceau se dé- 

 montrent alors aisément au moyen d'une hgure plane dans laquelle appa- 

 raissent toujours une droite et une circonférence de cercle. 



» Cette figure permet de retrouver les propriétés connues et d'autres 

 entièrement nouvelles. 



» Le pinceau formé par les normales infiniment voisines d'une surface 

 est très-intéressant à examiner. 



» Une surface élémentaire de ce pinceau, surface que j'ai appelée nor- 

 mnlie, représentée par sa droite auxiliaire, donne lieu à une figure sur 

 laquelle se trouvent groupés tous les éléments relatifs à la théorie de la 

 courbure des surfaces. 



» On est ainsi amené, non-seulement à une nouvelle exposition de cette 



