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que |3 4- msQ, |3 -+- m'sil, correspoiulraienl à uii même système de valeurs 

 de ces indices. Soit, par exemple, 



|S + msQ. — ap,p -+- a(xi^,, + èsr^., /3 + jns'Q. = a^p + n'o^ + b'z 



on en déduirait 



'=^ix; 



(m — m') su = [a — a') w^ + (^ — b') 



5T, 



l^* 



La fonction F^ admettrait donc, contrairement à l'hypothèse, la*période 

 {m — m') su, multiple de O. 



» Admettons que ])armi les fonctions F^.^,..., F„ il en existe v — p, 

 Fp^.,,..., F^, qui admettent des périodes «,,+ ,, fp+^'^p+ti-'-i tv^p+{i multi- 

 ples de tOp^.,, et soit ^ le plus petit multiple de^^+o,..., t/, la fonction 



$" = Ip^, Vp^, + . . . + 4 F, =^ $' - /..^, F,,, - ... - /„ F„ 



admet la période <w^+,, et ne devient infinie pour aucune valeur finie de la 

 variable. En effet, si elle avait un infini j3 situé à distance finie, elle en au- 

 rait im nombre illimité contenus dans la formule /3 + ?7itoip^,. Tous ceux 

 de ces infinis qui sont à distance finie seraient des infinis de cjuelqu'une 

 des fonctions F^+,,..., F„"qui forment $" conjointement avecO', et par suite 

 seraient contenus dans l'une des formules a^p + awjj^ + b7s^,, (p. étant > v). 

 Les indices (j., p de ces dernières formules n'ayant qu'iui nombi'c limité 

 k^^, +...+ />„ de systèmes de valeurs, deux des infinis de <V, tels que 

 |3 + mto)p+,^^ -h m't'j>p+, correspondraient à un même système de valeurs. 

 Cela posé, des deux égalités 



P + mt(j)p^t = «|j.p + aU[i + bfz^i,, /3 + /tî'^w^^., — a^^ + a' oi^ + b' 



zs,. 



on détluirait 



(m — m') t'j)p_^f ={a — n')w,j. -h [b — b') t^^,. 



Donc Fjji admettrait, contrairement à l'hypothèse, la période {ni — m')i(ùp+,, 

 multiple de Wp+, . 



)) Admettons que parmi les fonctions F^^.,,..., F^., il en existe q, F^+i,..., F^ 

 qui admettent des périodes z?p+,, iip+-2^p+[i---j "? ^/j+i multiples de Wp+,, et 

 soit u le plus petit multiple de Up_^n^..., ii^. La fonction 



0" = /„^. F^^, + . . . + l, F, = $" - /,^, F,^, - . . - /, F„ 



admettra, outre la période fw^^,, la période «w^^., ; et, en répétant le rai- 

 sonnement qui précède, on voit qu'elle ne sera infinie pour aucune va- 

 leur finie (le la variable. iMais elle est doublement périodique; donc elle 



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