( .,3o ) 



n'est infinie pour aucune valeur de la variable, et par suite se réduit à une 

 constante c. 



» Supposons maintenant que parmi les fonctions F^^,,..., F„ il en existe 

 r — q^ Fy^,,..., ¥r qui admettent à la fois une période multiple de w^^_, et 

 une période multiple de zsg^f. On verra par un raisonnement identique au 

 précédent que la fonction Z^+, Fy+, -!-...+ Z^F^ se réduit à une con- 

 stante c', etc.; et l'on aura enfin 



$'= $ - /, F, — ...- IpYp = Zp+.F/,^, -f-...+ Z„F„ nr: c + c' + ...= const.; 



d'où le théorème suivant : 



» Théorème. — Soient F,,...,F„ des fondions doublement périodiques, 

 najant chacune quun nombre limité d'iiifmis dans chaque paralléloijrnmme 

 de périodes; /,,•••> 4 des constantes. Si la fonction $ = /, F, +...+ /„F„ 

 admet la période Çï, l'égalité 



$ = Z,F, +...+ /„ F„ 



se décomposera en général en une suite d'égalités telles que 



$ = Z, F, +...+ /pFp + const., 

 Ip+, ¥p+, +...-(- Z, F^ = const . , 

 Zç+, Fy+, +. ..-H Zr F^ = const., 



où. tes fonctions F,,.--, FpOnt une période commune, multiple de ù, tandis que 

 les fonctions qui figurent dans chacune des autres égalités ont deux périodes com- 

 munes (multiples des moindres périodes de chacune d'elles), et par suite dépen- 

 dent algébriquement les unes des autres. 



» Remarque. — Si $ avait une seconde période II, l'égalité 



$ = Z, F, -^...-h IpFp-h const. 



se décomposerait de même en égalités partielles 



$ = Z, F, +...+ l^Fp' -+- const., 

 lp'+, Fy+, -I- . . . + Z^ F,/ = const. , 



telles, que les fonctions qui figurent dans chacune d'elles eussent toutes 

 deux périodes communes. » 



