il en résulte 



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» Dans nn travail inséré au tome IV des Annales scientifiques de l'École 

 Normale supérieure^ j'ai déduit de la considération du produit de deux 

 déterminants quelques formules dont les unes étaient connues et dont les 

 autres, celles qui proviennent des conditions d'intégrabilité, étaient, je 

 crois, nouvelles. J'en ai fait des applications, en particularisant les élé- 

 ments du déterminant qui étaient tout à fait quelconques. Mais je n'ai pas 

 tardé à reconnaître qu'on peut en faire usage dans d'autres questions. 

 Ainsi, en partageant les éléments d'un déterminant quelconque en deux 

 groupes : 



X = 





T-C n<" n^" 



y.(î) ,,(S) „(!) 



„(<) 



r,(«) 



rW ^M 



'rW n'.n) Jn) 



,Cn) 



[m -h /n' = «), et s'imposant toujours la condition 



où / est pris dans la suite i, i,..., m, et j' dans la suite i, a,. 



m , on a 



P = X^ = An, 



A = 2±X,,,X2,j. 





■'^ni. 



et les formules qui donnent les dérivées premières des éléments du déter- 

 minant X, par rapport à une variable indépendante quelconque, se dédou- 

 blent en deux types. Celles qui correspondent aux conditions d'intégrabi- 

 lité, lorsqu'on introduit diverses variabks indépendantes quelconques, se 

 partagent à leur tour en trois types. 



» El) supposant en particulier que les .r|*' désignent les dérivées partielles 

 de n fonctions x,, J^a,..., x„ des m variables indépendantes a,, «2,..., «„» 

 de sorte que 



.ri»' = 



ilx. 



