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» Considérons maintenant quatre points rt, A, c, e sur D; supposons 

 que l'on déplace cette droite de -façon cpie les points a, b, c, e restent 

 sur quatre surfaces directrices données : (A), (B), (C), (E), la droite D en- 

 gendrera alors une surface. Pour un déplacement infiniment petit, elle 

 aura une droite conjuguée A,. Cette droite rencontre la normale A menée 

 du pointa à (A); de même pour les autres normales B, C, Eaux siu'faces 

 directrices. On aiu'a donc A, en construisant la droite qui rencontre à la 

 fois les quatre normales A, B, C, E. 



» Il exi.sfe ainsi deux droites : D est l'une, l'autre est la conjuguée 

 cherchée. 



M Cette droite étant connue, la construction delà tangente à la trajec- 

 toire d'un point quelconque de D s'achève comme précédemment. 



» Arrivons maintenant aux prohlèmes relatifs aux courbures des tra- 

 jectoires des points d'une droite. 



» Reprenons le cas où la droite mobile D est assujettie à avoir deux de 

 ses points a et h sur deux courbes données [a] et [b). Menons à un insta'it 

 quelconque le ])lau normal en a à [a); de même menons le plan normal 

 relatif à b : la droite d'intersection de ces plans est la conjuguée A,. 



» Considéions le plan normal relatif au pointa. Nous avons sur ce plan 

 le point a, la droite A, et une droite F, qui est la perpendiculaire élevée 

 du centre de coinbure de [n) au plan osculateur de cette courbe. 



» Celte droite F, que je suppose connue, n'est autre que la droite ap- 

 pelée par Monge droile polaire. Appelons /' le point de rencontre de F et de 

 A, et t le pied de la perpendiculaire abaissée du point a sur A,; désignons 

 par / le jîoint où cotte perpendiculaire rencontre F. Déterminons, sur la 

 perpendiculaire rt<, un point A' par in relation 



I 



Tk 



» Joignons le point A au point r par la droite K et menons par celle 

 droite un plan (R) perpendiculaire au plan normal relatif au point a. 

 Répétons des constructions analogues pour tous les points de D; je dé- 

 montre que : 



» Tous les plans tels que (K ) se coupcnl suivant une même droite A,. 



» Celte droile est notre deuxième conjur/uce. 



)) Ao est facile à construire lorsqu'on connaît les droites polaires pour 

 deux points de D. Voici comment on détermine alors le pian osculateur et 

 le rayon de courbure rie la trajectoire (c) d'un point c de D. 



